Theory-of-Algorithms-Cheatsheet/main.typ

#import "@preview/finite:0.5.0": automaton
#import "@preview/fletcher:0.5.7" as fletcher: diagram, edge, node
#import "@preview/gentle-clues:1.2.0": *
#import "layout.typ": indent-par, project

#show: project.with(title: [Theory of Algorithms Cheatsheet], authors: (
  "Kristofers Solo",
))
#pagebreak()
#let TM = $T M$
#let rej = $q_"rej"$
#let acc = $q_"acc"$

= Tjūringa Mašīnas
== Info
Var būt 3 veida uzdevumi: stāvokļu, tekstuāls, vairāklenšu.

=== Viena lente
$(q, a) -> (q', a', d)$ -- stāvoklī $q$ redzot $a$, ieraksta $a'$
un iet virzienā $d space (<- "vai" ->)$.

=== Divas lentes
$(q, a_1, a_2) -> (q', b_1, b_2, d_1, d_2)$ -- $a_1$, $b_1$, $d_1$ pirmai lentei
un $a_2$, $b_2$, $d_2$ otrai lentei.

=== Stāvēšana uz vietas
Nosimulēt stāvēšanu uz vietas jeb $d=0$ var sādi:
- $(q, a) -> (q_"new", a', ->)$
- $(q_"new", a slash b slash c slash * ) -> (q_"new", a slash b slash c slash *, <-)$

== Soļi
+ Izdomāt, kā aizstājot simbolus ar $*$ var pārbaudīt virknes derību.
+ Atcerēties par secību -- aiz $a$ var sekot tikai $b slash c$, aiz $b$ var sekot tikai $c$, utt.
+ Doties katrā no virzieniem var doties arī līdz galam jeb tukšumam $\_$.
+ Vairāklenšu $TM$ pārraksta pirmo daļu līdz $\#$ uz otras lentes un salīdzina.

== Piemērs
Vai ieejas virknē $a^n b^n c^n$, kur $n>0$
#columns(2, [
  $(q_1, a) -> (q_2, *, ->)$ \
  $(q_1, b slash c) -> rej$ \
  $(q_1, *) -> (q_1, *, ->)$ \
  $(q_1, \_) -> acc$ \

  $(q_2, a) -> (q_2, a, ->)$ \
  $(q_2, b) -> (q_3, *, ->)$ \
  $(q_2, c) -> rej$ \
  $(q_2, *) -> (q_2, *, ->)$ \

  $(q_3, a) -> rej$ \
  #colbreak()
  $(q_3, b) -> (q_3, b, ->)$ \
  $(q_3, c) -> (q_4, *, ->)$ \
  $(q_3, *) -> (q_3, *, ->)$ \

  $(q_4, a slash b) -> rej$ \
  $(q_4, c) -> (q_4, c, ->)$ \
  $(q_4, \_) -> (q_5, \_, <-)$ \

  $(q_5, a slash b slash c slash *) -> (q_5, a slash b slash c slash *, <-)$ \
  $(q_5, \_) -> (q_1, \_, ->)$ \
])

- Aizstāj $a$ ar $*$, $b$ ar $*$, $c$ ar $*$.
- Kontrolē secību (pēc $a$ jāseko $a$ vai $b$, pēc $b$ jāseko $b$ vai $c$, pēc
  $c$ var sekot tikai $c$).
- Ja kādu simbolu nevar atrast, noraida.

== Piemērs
Vai ieejas virkne $x \# x$, kur $x in {0,1}^*$

#columns(2, [
  $(q_1, 0, \_) -> (q_1, 0, 0, ->, ->)$ \
  $(q_1, 1, \_) -> (q_1, 1, 1, ->, ->)$ \
  $(q_1, \#, \_) -> (q_2, \#, \_, 0, <-)$ \

  $(q_2, 0, 0) -> (q_2, 0, 0, <-)$ \
  $(q_2, 1, 1) -> (q_2, 1, 0, <-)$ \
  $(q_2, \#, \_) -> (q_3, \#, \_, ->, ->)$ \

  $(q_3, 0, 0) -> (q_3, 0, 0, ->, ->)$ \
  $(q_3, 0, 1) -> rej$ \
  $(q_3, 1, 0) -> rej$ \
  $(q_3, 1, 1) -> (q_3, 1, 1 ->, ->)$ \
  $(q_3, 0 slash 1, \_) -> rej$ \
  $(q_3, \_, 0 slash 1) -> rej$ \
  $(q_3, \_, \_) -> acc$ \
])

- Nokopē simbolus līdz $\#$ uz otras lentes.
- Sasniedzot $\#$, uz otras lentes iet atpakaļ līdz pirmajam simbolam.
- Salīdzina pirmās lentes simbolus pēc $\#$ ar otro lenti.

= Lietais $O$ un mazais $o$
== Info
- Tiek dota funkcija un jānosaka vai tā atrisināma dotajā lielā $O$ vai mazā $o$
  laikā.
- Ja funkcija aug straujāk par lielo $O$, tad apgalvotā vienādība būs patiesa.
- Ja funkcija aug straujāk par mazo $o$, tad apgalvotā vienādība būs nepatiesa.

== Soļi
- Ja funkcija pielīdzināta lielajam $O$:
  + Salīdzina funkcijas augstāko pakāpi ar doto $O$ pakāpi.
  + Ja funkcijas pakāpe ir lielāka, tad vienādojums būs patiess, jo funkcija aug
    straujāk.
- Ja funkcija pielīdzināta mazajam $o$:
  + Jāievieto dotais robežā $lim_(x->oo)f(x)/g(x)$, kur $f(x)$ ir funkcija un
    $g(x)$ ir $o$.
  + Ja rezultāts sanāk tuvu $0$, tad vienādojums būs patiess, jo funkcija aug
    lēnāk.

#columns(
  2,
  [
    == Piemērs
    $ 2n^4 + 6n^2 + 17 =^? O(n^4) $

    Izteiksme ir patiesa, tā kā kreisās puses izteiksmes augstākā pakāpe jeb kārta
    ir $4$ un iekš $O$ tā arī ir $4$.

    == Piemērs
    $ 2n^4 + 6n^2 + 17 =^? O(n^3) $

    Izteiksme ir aplama, jo kreisajā pusē augstākā pakāpe ir $4$, kamēr labajā ir norādīta $3$, un $4$ pakāpes izteiksmi nevar izpildīt $O(n^3)$.


    == Piemērs <small-o-example-3>
    $ n log^4 n =^? o(n^1.5) $

    Ir zināms, ka mazajā $O$ notācijai, ja $lim_(x->oo)f(x)/g(x)$, kur $f(x)$ ir
    funkcija un $g(x)$ ir $o$, tad vienādība izpildās.
    Ievietojot vērtības $ lim_(n->oo) (n log^4 n)/n^1.5=0 $
    Tātad vienādojums ir
    patiess.

    #colbreak()

    == Piemērs
    $ 2^n n^2 =^? o(n^3) $

    Pēc tās pašas aprakstītās īpašības, kā @small-o-example-3, sanāktu
    $ lim_(n->oo) (2^n n^2)/3^n $
    un tā kā $3^n$ aug ātrāk kā $2^n$, šī robeža būs $0$ un sākotnējais
    vienādojums būs patiess.

    == Piemērs
    $ n^3 + 17n + 4 in^? O(n^3) $

    Jā, $n^3 + 17n + 4 <= n^3 + 17n^3 + 4n^3 = 22n^3$.

    == Piemērs
    $ n^4 + 17n + 4 in^? O(n^3) $

    Nē $n^4 + 17n + 4 > n^4 = n dot n^3$
  ],
)