feat: add countables

layout.typ

@@ -1,4 +1,3 @@
-#import "@preview/i-figured:0.2.4"
 #import "@preview/tablex:0.0.9": tablex
 #import "@preview/headcount:0.1.0": *
 
@@ -14,7 +13,7 @@
   set document(author: authors)
 
   set page(
-    columns: 1,
+    columns: 2,
     margin: (
       left: 10mm,
       right: 10mm,
@@ -62,13 +61,9 @@
   // WARNING: remove before sending
   // outline(title: "TODOs", target: figure.where(kind: "todo"))
   /* --- Figure/Table config start --- */
-  show heading: i-figured.reset-counters
-  show figure: i-figured.show-figure.with(numbering: "1.1.")
   set figure(numbering: dependent-numbering("1.1"))
   set figure(placement: none)
 
-  show figure.where(kind: "i-figured-table"): set block(breakable: true)
-  show figure.where(kind: "i-figured-table"): set figure.caption(position: top)
   show figure.where(kind: "attachment"): set figure.caption(position: top)
   show figure.where(kind: raw): set figure.caption(position: top)
 
@@ -78,103 +73,9 @@
   show figure.where(kind: image): set par(leading: 0.75em)
   show figure.caption: set text(size: 11pt)
 
-  show figure.caption: it => {
-    if it.kind == "i-figured-table" {
-      return align(
-        end,
-        emph(it.counter.display(it.numbering) + " tabula ")
-          + text(weight: "bold", it.body),
-      )
-    }
-    if it.kind == "i-figured-image" {
-      return align(
-        start,
-        emph(it.counter.display(it.numbering) + " att. ")
-          + text(weight: "bold", it.body),
-      )
-    }
-    if (
-      it.kind
-        in (
-          "i-figured-raw",
-          "i-figured-\"attachment\"",
-        )
-    ) {
-      return align(end, it.counter.display() + ". pielikums. " + text(it.body))
-    }
-    it
-  }
-
   // disable default reference suppliments
   set ref(supplement: it => { })
 
-  // Custom show rule for references
-  show ref: it => {
-    let el = it.element
-
-    if el == none {
-      return it
-    }
-
-    if el.func() == heading {
-      return link(
-        el.location(),
-        numbering(el.numbering, ..counter(heading).at(el.location()))
-          + " "
-          + el.body,
-      )
-    }
-
-    if el.func() == figure {
-      let kind = el.kind
-
-      // Map for different kinds of supplements
-      let supplement_map = (
-        i-figured-table: "tab.",
-        i-figured-image: "att.",
-        attachment: "pielikumu",
-      )
-
-
-      // Get the supplement value properly
-      let supplement = if type(it.supplement) != function {
-        it.supplement
-      } else {
-        if kind in supplement_map {
-          supplement_map.at(kind)
-        } else {
-          ""
-        }
-      }
-
-      let number = if kind == "attachment" {
-        (
-          numbering(el.numbering, ..counter(figure.where(kind: kind)).at(
-            el.location(),
-          ))
-            + "."
-        ) // Only add dot for attachments
-      } else {
-        numbering(el.numbering, ..counter(figure.where(kind: kind)).at(
-          el.location(),
-        )) // No extra dot for tables and images
-      }
-
-      // Create counter based on the kind
-      return link(
-        el.location(),
-        number
-          + if supplement != "" {
-            " " + supplement
-          } else {
-            ""
-          },
-      )
-    }
-
-    // Default case for non-figure elements
-    it
-  }
   /* --- Figure/Table config end --- */
 
   set list(marker: ([•], [--], [\*], [·]))
@@ -184,6 +85,7 @@
 
 
   outline(depth: 3, indent: indent, title: text(size: 14pt, "Saturs"))
+  pagebreak()
 
   body
 }

main.typ

@@ -6,11 +6,14 @@
 #show: project.with(title: [Theory of Algorithms Cheatsheet], authors: (
   "Kristofers Solo",
 ))
-#pagebreak()
+
+#let teo(title: "Teorēma", ..args) = memo(title: title, ..args)
+
 #let TM = $T M$
 #let rej = $q_"rej"$
 #let acc = $q_"acc"$
 
+
 = Tjūringa Mašīnas
 == Info
 Var būt 3 veida uzdevumi: stāvokļu, tekstuāls, vairāklenšu.
@@ -36,7 +39,8 @@ Nosimulēt stāvēšanu uz vietas jeb $d=0$ var sādi:
 
 == Piemērs
 Vai ieejas virknē $a^n b^n c^n$, kur $n>0$
-#columns(2, [
+
+#context [
   $(q_1, a) -> (q_2, *, ->)$ \
   $(q_1, b slash c) -> rej$ \
   $(q_1, *) -> (q_1, *, ->)$ \
@@ -48,7 +52,6 @@ Vai ieejas virknē $a^n b^n c^n$, kur $n>0$
   $(q_2, *) -> (q_2, *, ->)$ \
 
   $(q_3, a) -> rej$ \
-  #colbreak()
   $(q_3, b) -> (q_3, b, ->)$ \
   $(q_3, c) -> (q_4, *, ->)$ \
   $(q_3, *) -> (q_3, *, ->)$ \
@@ -59,7 +62,7 @@ Vai ieejas virknē $a^n b^n c^n$, kur $n>0$
 
   $(q_5, a slash b slash c slash *) -> (q_5, a slash b slash c slash *, <-)$ \
   $(q_5, \_) -> (q_1, \_, ->)$ \
-])
+]
 
 - Aizstāj $a$ ar $*$, $b$ ar $*$, $c$ ar $*$.
 - Kontrolē secību (pēc $a$ jāseko $a$ vai $b$, pēc $b$ jāseko $b$ vai $c$, pēc
@@ -69,7 +72,7 @@ Vai ieejas virknē $a^n b^n c^n$, kur $n>0$
 == Piemērs
 Vai ieejas virkne $x \# x$, kur $x in {0,1}^*$
 
-#columns(2, [
+#context [
   $(q_1, 0, \_) -> (q_1, 0, 0, ->, ->)$ \
   $(q_1, 1, \_) -> (q_1, 1, 1, ->, ->)$ \
   $(q_1, \#, \_) -> (q_2, \#, \_, 0, <-)$ \
@@ -85,13 +88,14 @@ Vai ieejas virkne $x \# x$, kur $x in {0,1}^*$
   $(q_3, 0 slash 1, \_) -> rej$ \
   $(q_3, \_, 0 slash 1) -> rej$ \
   $(q_3, \_, \_) -> acc$ \
-])
+]
 
 - Nokopē simbolus līdz $\#$ uz otras lentes.
 - Sasniedzot $\#$, uz otras lentes iet atpakaļ līdz pirmajam simbolam.
 - Salīdzina pirmās lentes simbolus pēc $\#$ ar otro lenti.
 
-= Lietais $O$ un mazais $o$
+#set page(columns: 2)
+= Lielais $O$ un mazais $o$
 == Info
 - Tiek dota funkcija un jānosaka vai tā atrisināma dotajā lielā $O$ vai mazā $o$
   laikā.
@@ -109,48 +113,121 @@ Vai ieejas virkne $x \# x$, kur $x in {0,1}^*$
   + Ja rezultāts sanāk tuvu $0$, tad vienādojums būs patiess, jo funkcija aug
     lēnāk.
 
-#columns(
+== Piemērs
-  2,
+$ 2n^4 + 6n^2 + 17 =^? O(n^4) $
-  [
-    == Piemērs
-    $ 2n^4 + 6n^2 + 17 =^? O(n^4) $
 
-    Izteiksme ir patiesa, tā kā kreisās puses izteiksmes augstākā pakāpe jeb kārta
+Izteiksme ir patiesa, tā kā kreisās puses izteiksmes augstākā pakāpe jeb kārta
-    ir $4$ un iekš $O$ tā arī ir $4$.
+ir $4$ un iekš $O$ tā arī ir $4$.
 
-    == Piemērs
+== Piemērs
-    $ 2n^4 + 6n^2 + 17 =^? O(n^3) $
+$ 2n^4 + 6n^2 + 17 =^? O(n^3) $
 
-    Izteiksme ir aplama, jo kreisajā pusē augstākā pakāpe ir $4$, kamēr labajā ir norādīta $3$, un $4$ pakāpes izteiksmi nevar izpildīt $O(n^3)$.
+Izteiksme ir aplama, jo kreisajā pusē augstākā pakāpe ir $4$, kamēr labajā ir norādīta $3$, un $4$ pakāpes izteiksmi nevar izpildīt $O(n^3)$.
 
 
-    == Piemērs <small-o-example-3>
+== Piemērs <small-o-example-3>
-    $ n log^4 n =^? o(n^1.5) $
+$ n log^4 n =^? o(n^1.5) $
 
-    Ir zināms, ka mazajā $O$ notācijai, ja $lim_(x->oo)f(x)/g(x)$, kur $f(x)$ ir
+Ir zināms, ka mazajā $O$ notācijai, ja $lim_(x->oo)f(x)/g(x)$, kur $f(x)$ ir
-    funkcija un $g(x)$ ir $o$, tad vienādība izpildās.
+funkcija un $g(x)$ ir $o$, tad vienādība izpildās.
-    Ievietojot vērtības $ lim_(n->oo) (n log^4 n)/n^1.5=0 $
+Ievietojot vērtības $ lim_(n->oo) (n log^4 n)/n^1.5=0 $
-    Tātad vienādojums ir
+Tātad vienādojums ir
-    patiess.
+patiess.
 
-    #colbreak()
+#colbreak()
 
-    == Piemērs
+== Piemērs
-    $ 2^n n^2 =^? o(n^3) $
+$ 2^n n^2 =^? o(n^3) $
 
-    Pēc tās pašas aprakstītās īpašības, kā @small-o-example-3, sanāktu
+Pēc tās pašas aprakstītās īpašības, kā @small-o-example-3, sanāktu
-    $ lim_(n->oo) (2^n n^2)/3^n $
+$ lim_(n->oo) (2^n n^2)/3^n $
-    un tā kā $3^n$ aug ātrāk kā $2^n$, šī robeža būs $0$ un sākotnējais
+un tā kā $3^n$ aug ātrāk kā $2^n$, šī robeža būs $0$ un sākotnējais
-    vienādojums būs patiess.
+vienādojums būs patiess.
 
-    == Piemērs
+== Piemērs
-    $ n^3 + 17n + 4 in^? O(n^3) $
+$ n^3 + 17n + 4 in^? O(n^3) $
 
-    Jā, $n^3 + 17n + 4 <= n^3 + 17n^3 + 4n^3 = 22n^3$.
+Jā, $n^3 + 17n + 4 <= n^3 + 17n^3 + 4n^3 = 22n^3$.
 
-    == Piemērs
+== Piemērs
-    $ n^4 + 17n + 4 in^? O(n^3) $
+$ n^4 + 17n + 4 in^? O(n^3) $
 
-    Nē $n^4 + 17n + 4 > n^4 = n dot n^3$
+Nē $n^4 + 17n + 4 > n^4 = n dot n^3$
-  ],
+
+= Sanumurējamība
+== Info
+- Bezgalīgas kopas $A$, $B$ ir vienāda izmēra, ja ir bijekcija ($1:1$ attiecība)
+  $F: A->B$.
+- $A$ ir sanumurējama ar atkārtojumiem, ja ir attēlojums $F:N->A$, kas par katru
+  $a$ $E$ $A$ attēlo vismaz vienu $x$ $E$ $N$.
+#teo[$A$ ir sanumurējama ar atkārtojumiem tad un tikai tad, ja $A$ ir sanumurējama.]
+
+== Soļi
+- Kopa ir sanumurējama, ja tajā eksistē viennozīmīga atbilstība (bijekcija)
+  starp kopas elementiem un naturāliem skaitļiem.
+  Citos vārdos sakot, katram kopas elementam var piešķirt unikālu naturālu
+  skaitli.
+- Ja kopa ir galīga, tā ir triviāli sanumurējama, jo katram elementam var
+  piešķirt unikālu naturālu skaitli.
+- Ja kopa ir bezgalīga, jāņem vērā divi varianti:
+  - Ja var izveidot bijekciju starp kopu un naturāliem skaitļiem, tad jāpierāda,
+    ka bijekcija nepastāv.
+    Var skaidri definēt funkciju, kas katram kopas elementam piešķir unikālu
+    naturālu skaitli un parādīt, ka tā apvieno visus elementus bez dublēšanās.
+  - Ja nevar atrast bijekciju starp kopu un naturāliem skaitļiem, tad jāpierāda,
+    ka bijekcija nepastāv.
+    Parasti tas tiek darīts, izmantojot pierādīšanas tehnikas, piemēram,
+    diagonālināciju vai pretrunu (sk. @diagonalization, @contradiction).
+- Ja izdodas pierādīt, ka start kopu un naturāliem skaitļiem nav bijekcijas, tad
+  kopa ir nesaskaitāma.
+
+=== Diagonālinācija <diagonalization>
+Ietver paņēmienu, ka ir saraksts vai uzskaitījums ar visiem kopas elementiem un
+tiek konstruēts jauns elementu, kas neatrodas šajā sarakstā.
+Tas demonstrē, ka kopa ir nesaskaitāma, jo vienmēr var izveidot jaunu elementu,
+kas nav iekļauts uzskaitē.
+
+=== Pretruna <contradiction>
+Pieņem, ka kopa ir saskaitāma un tad rodas pretruna.
+To var izdarīt, parādot, ka kaut kādas kopas īpašības vai kardinalitāte ir
+pretrunā ar sanumurējamības pieņēmumu.
+
+== Piemērs
+Vai visu veselo skaitļu kopa $ZZ={..., -1, 0, 1, ...}$ ir sanumurējama? \
+Vai ir $F:{F(1), F(2), ..., F(n), ...}=ZZ$? \
+
+
+$ F(1)=0, F(2)=-1, F(3)=1, F(4)=-2, ... $
+
+Viens no veidiem, kā izveidot bijekciju pāra kopai, ir izmantot metodi, ko sauc
+par Kantoro pārošanas funkciju.
+Kantora pārošanas funkcija ir definēta sekojoši:
+$f(k_1, k_2) := 1/2(k_1 + k_2)(k_1 + k_2 + 1) + k_2$, kur $k_1,k_2 in NN$
+
+#figure(
+  image("assets/img/cantors-pairing-function.png", width: 50%),
+  caption: "Cantor's pairing function",
 )
+
+Šī funkcija kā ievadi pieņem naturālo skaitļu pāri $(k_1, k_2)$ un to attēlo
+kā unikālu naturālo skaitli.
+Tā nodrošina, ka katram pārim tiek piešķirts unikāls skaitlis un tiek aptverti
+visi iespējamie pāri bez atkārtojumiem.
+
+Lai pierādītu, ka naturālo skaitļu pāru $(k_1, k_2)$ kopa ir saskaitāma, mēs
+varam parādīt, ka funkcija $f(k_1, k_2)$ nodrošina bijekciju starp naturālo
+skaitļu pāru kopu un naturālo skaitļu kopu.
+
+=== Injektivitāte
+Pieņemsim, ka $f(k_1, k_2) = f(k_3, k_4)$, kur $(k_1, k_2)$ un $(k_3, k_4)$
+ir atšķirīgi pāri no naturālo skaitļu kopas.
+Vienkāršojot un nolīdzinot izteiksmes, varam parādīt, ka
+$k_1 = k_3$ un $k_2 = k_4$.
+Tātad funkcija $f$ ir injektīva.
+
+=== Surjektivitāte
+Jebkuram naturālam skaitlim $n$ varam atrast pāri $(k_1, k_2)$, kas tiek
+attēlots uz $n$, izmantojot Kantora pārošanas funkcijas apgriezto funkciju.
+Pielietojot apgriezto funkciju uz $n$, varam atgūt sākotnējo pāri $(k_1, k_2)$.
+Tādējādi funkcija $f$ ir surjektīva.
+

requirements.typ

@@ -2,5 +2,4 @@
 #import "@preview/fletcher:0.5.7"
 #import "@preview/gentle-clues:1.2.0"
 #import "@preview/headcount:0.1.0"
-#import "@preview/i-figured:0.2.4"
 #import "@preview/tablex:0.0.9"