Theory-of-Algorithms-Cheatsheet/main.typ

#import "@preview/finite:0.5.0": automaton
#import "@preview/fletcher:0.5.7" as fletcher: diagram, edge, node
#import "@preview/gentle-clues:1.2.0": *
#import "layout.typ": indent-par, project

#show: project.with(title: [Theory of Algorithms Cheatsheet], authors: (
  "Kristofers Solo",
))

#let teo(title: "Teorēma", ..args) = memo(title: title, ..args)

#let TM = $T M$
#let rej = $q_"rej"$
#let acc = $q_"acc"$


= Tjūringa Mašīnas
== Info
Var būt 3 veida uzdevumi: stāvokļu, tekstuāls, vairāklenšu.

=== Viena lente
$(q, a) -> (q', a', d)$ -- stāvoklī $q$ redzot $a$, ieraksta $a'$
un iet virzienā $d space (<- "vai" ->)$.

=== Divas lentes
$(q, a_1, a_2) -> (q', b_1, b_2, d_1, d_2)$ -- $a_1$, $b_1$, $d_1$ pirmai lentei
un $a_2$, $b_2$, $d_2$ otrai lentei.

=== Stāvēšana uz vietas
Nosimulēt stāvēšanu uz vietas jeb $d=0$ var sādi:
- $(q, a) -> (q_"new", a', ->)$
- $(q_"new", a slash b slash c slash * ) -> (q_"new", a slash b slash c slash *, <-)$

== Soļi
+ Izdomāt, kā aizstājot simbolus ar $*$ var pārbaudīt virknes derību.
+ Atcerēties par secību -- aiz $a$ var sekot tikai $b slash c$, aiz $b$ var sekot tikai $c$, utt.
+ Doties katrā no virzieniem var doties arī līdz galam jeb tukšumam $\_$.
+ Vairāklenšu $TM$ pārraksta pirmo daļu līdz $\#$ uz otras lentes un salīdzina.

== Piemērs
Vai ieejas virknē $a^n b^n c^n$, kur $n>0$

#context [
  $(q_1, a) -> (q_2, *, ->)$ \
  $(q_1, b slash c) -> rej$ \
  $(q_1, *) -> (q_1, *, ->)$ \
  $(q_1, \_) -> acc$ \

  $(q_2, a) -> (q_2, a, ->)$ \
  $(q_2, b) -> (q_3, *, ->)$ \
  $(q_2, c) -> rej$ \
  $(q_2, *) -> (q_2, *, ->)$ \

  $(q_3, a) -> rej$ \
  $(q_3, b) -> (q_3, b, ->)$ \
  $(q_3, c) -> (q_4, *, ->)$ \
  $(q_3, *) -> (q_3, *, ->)$ \

  $(q_4, a slash b) -> rej$ \
  $(q_4, c) -> (q_4, c, ->)$ \
  $(q_4, \_) -> (q_5, \_, <-)$ \

  $(q_5, a slash b slash c slash *) -> (q_5, a slash b slash c slash *, <-)$ \
  $(q_5, \_) -> (q_1, \_, ->)$ \
]

- Aizstāj $a$ ar $*$, $b$ ar $*$, $c$ ar $*$.
- Kontrolē secību (pēc $a$ jāseko $a$ vai $b$, pēc $b$ jāseko $b$ vai $c$, pēc
  $c$ var sekot tikai $c$).
- Ja kādu simbolu nevar atrast, noraida.

== Piemērs
Vai ieejas virkne $x \# x$, kur $x in {0,1}^*$

#context [
  $(q_1, 0, \_) -> (q_1, 0, 0, ->, ->)$ \
  $(q_1, 1, \_) -> (q_1, 1, 1, ->, ->)$ \
  $(q_1, \#, \_) -> (q_2, \#, \_, 0, <-)$ \

  $(q_2, 0, 0) -> (q_2, 0, 0, <-)$ \
  $(q_2, 1, 1) -> (q_2, 1, 0, <-)$ \
  $(q_2, \#, \_) -> (q_3, \#, \_, ->, ->)$ \

  $(q_3, 0, 0) -> (q_3, 0, 0, ->, ->)$ \
  $(q_3, 0, 1) -> rej$ \
  $(q_3, 1, 0) -> rej$ \
  $(q_3, 1, 1) -> (q_3, 1, 1 ->, ->)$ \
  $(q_3, 0 slash 1, \_) -> rej$ \
  $(q_3, \_, 0 slash 1) -> rej$ \
  $(q_3, \_, \_) -> acc$ \
]

- Nokopē simbolus līdz $\#$ uz otras lentes.
- Sasniedzot $\#$, uz otras lentes iet atpakaļ līdz pirmajam simbolam.
- Salīdzina pirmās lentes simbolus pēc $\#$ ar otro lenti.

#set page(columns: 2)
= Lielais $O$ un mazais $o$
== Info
- Tiek dota funkcija un jānosaka vai tā atrisināma dotajā lielā $O$ vai mazā $o$
  laikā.
- Ja funkcija aug straujāk par lielo $O$, tad apgalvotā vienādība būs patiesa.
- Ja funkcija aug straujāk par mazo $o$, tad apgalvotā vienādība būs nepatiesa.

== Soļi
- Ja funkcija pielīdzināta lielajam $O$:
  + Salīdzina funkcijas augstāko pakāpi ar doto $O$ pakāpi.
  + Ja funkcijas pakāpe ir lielāka, tad vienādojums būs patiess, jo funkcija aug
    straujāk.
- Ja funkcija pielīdzināta mazajam $o$:
  + Jāievieto dotais robežā $lim_(x->oo)f(x)/g(x)$, kur $f(x)$ ir funkcija un
    $g(x)$ ir $o$.
  + Ja rezultāts sanāk tuvu $0$, tad vienādojums būs patiess, jo funkcija aug
    lēnāk.

== Piemērs
$ 2n^4 + 6n^2 + 17 =^? O(n^4) $

Izteiksme ir patiesa, tā kā kreisās puses izteiksmes augstākā pakāpe jeb kārta
ir $4$ un iekš $O$ tā arī ir $4$.

== Piemērs
$ 2n^4 + 6n^2 + 17 =^? O(n^3) $

Izteiksme ir aplama, jo kreisajā pusē augstākā pakāpe ir $4$, kamēr labajā ir norādīta $3$, un $4$ pakāpes izteiksmi nevar izpildīt $O(n^3)$.


== Piemērs <small-o-example-3>
$ n log^4 n =^? o(n^1.5) $

Ir zināms, ka mazajā $O$ notācijai, ja $lim_(x->oo)f(x)/g(x)$, kur $f(x)$ ir
funkcija un $g(x)$ ir $o$, tad vienādība izpildās.
Ievietojot vērtības $ lim_(n->oo) (n log^4 n)/n^1.5=0 $
Tātad vienādojums ir
patiess.

#colbreak()

== Piemērs
$ 2^n n^2 =^? o(n^3) $

Pēc tās pašas aprakstītās īpašības, kā @small-o-example-3, sanāktu
$ lim_(n->oo) (2^n n^2)/3^n $
un tā kā $3^n$ aug ātrāk kā $2^n$, šī robeža būs $0$ un sākotnējais
vienādojums būs patiess.

== Piemērs
$ n^3 + 17n + 4 in^? O(n^3) $

Jā, $n^3 + 17n + 4 <= n^3 + 17n^3 + 4n^3 = 22n^3$.

== Piemērs
$ n^4 + 17n + 4 in^? O(n^3) $

Nē $n^4 + 17n + 4 > n^4 = n dot n^3$

= Sanumurējamība
== Info
- Bezgalīgas kopas $A$, $B$ ir vienāda izmēra, ja ir bijekcija ($1:1$ attiecība)
  $F: A->B$.
- $A$ ir sanumurējama ar atkārtojumiem, ja ir attēlojums $F:N->A$, kas par katru
  $a$ $E$ $A$ attēlo vismaz vienu $x$ $E$ $N$.
#teo[$A$ ir sanumurējama ar atkārtojumiem tad un tikai tad, ja $A$ ir sanumurējama.]

== Soļi
- Kopa ir sanumurējama, ja tajā eksistē viennozīmīga atbilstība (bijekcija)
  starp kopas elementiem un naturāliem skaitļiem.
  Citos vārdos sakot, katram kopas elementam var piešķirt unikālu naturālu
  skaitli.
- Ja kopa ir galīga, tā ir triviāli sanumurējama, jo katram elementam var
  piešķirt unikālu naturālu skaitli.
- Ja kopa ir bezgalīga, jāņem vērā divi varianti:
  - Ja var izveidot bijekciju starp kopu un naturāliem skaitļiem, tad jāpierāda,
    ka bijekcija nepastāv.
    Var skaidri definēt funkciju, kas katram kopas elementam piešķir unikālu
    naturālu skaitli un parādīt, ka tā apvieno visus elementus bez dublēšanās.
  - Ja nevar atrast bijekciju starp kopu un naturāliem skaitļiem, tad jāpierāda,
    ka bijekcija nepastāv.
    Parasti tas tiek darīts, izmantojot pierādīšanas tehnikas, piemēram,
    diagonālināciju vai pretrunu (sk. @diagonalization, @contradiction).
- Ja izdodas pierādīt, ka start kopu un naturāliem skaitļiem nav bijekcijas, tad
  kopa ir nesaskaitāma.

=== Diagonālinācija <diagonalization>
Ietver paņēmienu, ka ir saraksts vai uzskaitījums ar visiem kopas elementiem un
tiek konstruēts jauns elementu, kas neatrodas šajā sarakstā.
Tas demonstrē, ka kopa ir nesaskaitāma, jo vienmēr var izveidot jaunu elementu,
kas nav iekļauts uzskaitē.

=== Pretruna <contradiction>
Pieņem, ka kopa ir saskaitāma un tad rodas pretruna.
To var izdarīt, parādot, ka kaut kādas kopas īpašības vai kardinalitāte ir
pretrunā ar sanumurējamības pieņēmumu.

== Piemērs
Vai visu veselo skaitļu kopa $ZZ={..., -1, 0, 1, ...}$ ir sanumurējama? \
Vai ir $F:{F(1), F(2), ..., F(n), ...}=ZZ$? \


$ F(1)=0, F(2)=-1, F(3)=1, F(4)=-2, ... $

Viens no veidiem, kā izveidot bijekciju pāra kopai, ir izmantot metodi, ko sauc
par Kantoro pārošanas funkciju.
Kantora pārošanas funkcija ir definēta sekojoši:
$f(k_1, k_2) := 1/2(k_1 + k_2)(k_1 + k_2 + 1) + k_2$, kur $k_1,k_2 in NN$

#figure(
  image("assets/img/cantors-pairing-function.png", width: 50%),
  caption: "Cantor's pairing function",
)

Šī funkcija kā ievadi pieņem naturālo skaitļu pāri $(k_1, k_2)$ un to attēlo
kā unikālu naturālo skaitli.
Tā nodrošina, ka katram pārim tiek piešķirts unikāls skaitlis un tiek aptverti
visi iespējamie pāri bez atkārtojumiem.

Lai pierādītu, ka naturālo skaitļu pāru $(k_1, k_2)$ kopa ir saskaitāma, mēs
varam parādīt, ka funkcija $f(k_1, k_2)$ nodrošina bijekciju starp naturālo
skaitļu pāru kopu un naturālo skaitļu kopu.

=== Injektivitāte
Pieņemsim, ka $f(k_1, k_2) = f(k_3, k_4)$, kur $(k_1, k_2)$ un $(k_3, k_4)$
ir atšķirīgi pāri no naturālo skaitļu kopas.
Vienkāršojot un nolīdzinot izteiksmes, varam parādīt, ka
$k_1 = k_3$ un $k_2 = k_4$.
Tātad funkcija $f$ ir injektīva.

=== Surjektivitāte
Jebkuram naturālam skaitlim $n$ varam atrast pāri $(k_1, k_2)$, kas tiek
attēlots uz $n$, izmantojot Kantora pārošanas funkcijas apgriezto funkciju.
Pielietojot apgriezto funkciju uz $n$, varam atgūt sākotnējo pāri $(k_1, k_2)$.
Tādējādi funkcija $f$ ir surjektīva.