mirror of
https://github.com/kristoferssolo/Theory-of-Algorithms-Cheatsheet.git
synced 2025-10-21 20:10:39 +00:00
feat: add NP
This commit is contained in:
parent
d89393bef8
commit
3ca4ede8ac
GPG Key ID:
8687F2D3EEE6F0ED
183
main.typ
183
main.typ
@ -9,12 +9,12 @@
|
||||
|
||||
#let teo(title: "Teorēma", ..args) = memo(title: title, ..args)
|
||||
|
||||
#let TM = $T M$
|
||||
#let rej = $q_"rej"$
|
||||
#let acc = $q_"acc"$
|
||||
#let halt = $H A L T I N G$
|
||||
#let halt2 = $halt 2$
|
||||
|
||||
#let TM = `TM`
|
||||
#let qrej = $q_"rej"$
|
||||
#let qacc = $q_"acc"$
|
||||
#let halt = `HALTING`
|
||||
#let halt2 = `HALTING2`
|
||||
#let NP = `NP`
|
||||
|
||||
= Tjūringa Mašīnas
|
||||
== Info
|
||||
@ -44,21 +44,21 @@ Vai ieejas virknē $a^n b^n c^n$, kur $n>0$
|
||||
|
||||
#context [
|
||||
$(q_1, a) -> (q_2, *, ->)$ \
|
||||
$(q_1, b slash c) -> rej$ \
|
||||
$(q_1, b slash c) -> qrej$ \
|
||||
$(q_1, *) -> (q_1, *, ->)$ \
|
||||
$(q_1, \_) -> acc$ \
|
||||
$(q_1, \_) -> qacc$ \
|
||||
|
||||
$(q_2, a) -> (q_2, a, ->)$ \
|
||||
$(q_2, b) -> (q_3, *, ->)$ \
|
||||
$(q_2, c) -> rej$ \
|
||||
$(q_2, c) -> qrej$ \
|
||||
$(q_2, *) -> (q_2, *, ->)$ \
|
||||
|
||||
$(q_3, a) -> rej$ \
|
||||
$(q_3, a) -> qrej$ \
|
||||
$(q_3, b) -> (q_3, b, ->)$ \
|
||||
$(q_3, c) -> (q_4, *, ->)$ \
|
||||
$(q_3, *) -> (q_3, *, ->)$ \
|
||||
|
||||
$(q_4, a slash b) -> rej$ \
|
||||
$(q_4, a slash b) -> qrej$ \
|
||||
$(q_4, c) -> (q_4, c, ->)$ \
|
||||
$(q_4, \_) -> (q_5, \_, <-)$ \
|
||||
|
||||
@ -84,12 +84,12 @@ Vai ieejas virkne $x \# x$, kur $x in {0,1}^*$
|
||||
$(q_2, \#, \_) -> (q_3, \#, \_, ->, ->)$ \
|
||||
|
||||
$(q_3, 0, 0) -> (q_3, 0, 0, ->, ->)$ \
|
||||
$(q_3, 0, 1) -> rej$ \
|
||||
$(q_3, 1, 0) -> rej$ \
|
||||
$(q_3, 0, 1) -> qrej$ \
|
||||
$(q_3, 1, 0) -> qrej$ \
|
||||
$(q_3, 1, 1) -> (q_3, 1, 1 ->, ->)$ \
|
||||
$(q_3, 0 slash 1, \_) -> rej$ \
|
||||
$(q_3, \_, 0 slash 1) -> rej$ \
|
||||
$(q_3, \_, \_) -> acc$ \
|
||||
$(q_3, 0 slash 1, \_) -> qrej$ \
|
||||
$(q_3, \_, 0 slash 1) -> qrej$ \
|
||||
$(q_3, \_, \_) -> qacc$ \
|
||||
]
|
||||
|
||||
- Nokopē simbolus līdz $\#$ uz otras lentes.
|
||||
@ -312,8 +312,8 @@ $A$ -- daļēji atrisināma, ja ir Tjūringa mašīna $T$:
|
||||
- Kopa $A$ ir sanumurējama, ja $A={x_1, x_2, ...}$
|
||||
- Kopa $A$ ir algoritmiski sanumurējama, ja ir Tjūringa mašīna, kas izdod virkni
|
||||
$x_1, x_2, ...$, kurai $A={x_1, x_2, ...}$
|
||||
#let DL = $D L$
|
||||
#let IL = $I L$
|
||||
#let DL = `DL`
|
||||
#let IL = `IL`
|
||||
Divu lenšu #TM, kur viena ir klasiska darba lente (#DL) un otra ir izvada
|
||||
lente (#IL) (tikai rakstīšanai).
|
||||
|
||||
@ -383,5 +383,150 @@ Kopējais soļu skaits:
|
||||
- Ne vairāk kā $(n/2+1) 2n = n^2 + 2n$ soļi.
|
||||
- Ja $n$ nav ļoti mazs, $n^2$ būs vairāk nekā $2n$ un soļu skaits $O(n^2)$.
|
||||
|
||||
= NP (neatrisināmas problēmas)
|
||||
= #NP (neatrisināmas problēmas)
|
||||
|
||||
#let acc = `ACCEPTING`
|
||||
#let eqans = `EQUAL_ANSWERS`
|
||||
#let one = `ONE`
|
||||
#let infinite = `INFINITE`
|
||||
#let equiv = `EQUIV`
|
||||
#let hamcycle = `HAMCYCLE`
|
||||
#let linineq = `LIN-INEQ`
|
||||
#let M1 = $M 1$
|
||||
#let M2 = $M 2$
|
||||
|
||||
== Info
|
||||
- $halt(M\# x)=1$, ja $M$ apstājas, ja ieejas virkne $=x$.
|
||||
- $acc(M\# x)=1$, ja $M$ uz ieejas virknes izdod atbildi $1$.
|
||||
- $eqans(M\# x \# y)=1$, ja $M$ uz ieejas virknēm $x$ un $y$ izdod vienādas atbildes.
|
||||
- $one(M)=1$, ja eksistē ieejas virkne $x$, uz kuras $M$ izdod atbildi $1$.
|
||||
- $infinite(M)=1$, ja eksistē bezgalīgi daudzas ieejas virknes $x$, uz kurām $M$ izdod atbildi $1$.
|
||||
- $equiv(M 1, M 2)=1$, ja $M1(x)=M2(x)$
|
||||
- $hamcycle(G)=1$, ja grafā $G$ ir cikls (šķautņu virkne
|
||||
$v_1 v_2,v_2 v_3, ..., v_n v_1$), kurā katra virsotne ir tieši $1$ reizi.
|
||||
- $linineq(S)=1$, ja sistēmai ir atrisinājums $x_1, x_2, ..., x_n in {0,1}$
|
||||
|
||||
#info[Ja var atrisināt #acc, tad var atrisināt arī #halt.]
|
||||
#info[Ja var atrisināt #eqans / #one / #infinite / #equiv, tad var atrisināt arī #acc.]
|
||||
|
||||
== Soļi
|
||||
+ Skaidri definē problēmu, kuru vēlas pierādīt kā #NP -- norādot, kas ir derīga
|
||||
ievade un kādus rezultātus programmai paredzēts izvadīt.
|
||||
+ Pieņem, ka eksistē algoritms vai #TM, kas spēj atrisināt problēmu visiem
|
||||
iespējamiem ievaddatiem.
|
||||
Šī pieņēmuma mērķis ir rādīt pretrunu.
|
||||
+ Definē citu problēmu, kas var tikt samazināta līdz sākotnējai problēmai.
|
||||
Tas nozīmē, ka, ja var atrisināt sākotnējo problēmu, var atrisināt arī
|
||||
saistīto problēmu.
|
||||
+ Izveido transformācijas vai redukcijas algoritmu, kas ņem saistītās problēmas
|
||||
instanci un pārveido to par sākotnējās problēmas instanci. Šai redukcijai
|
||||
vajadzētu saglabāt atbildi uz saistīto problēmu.
|
||||
+ Pierāda, ka, ja sākotnējai problēmai ir risinājums, tad arī saistītajai
|
||||
problēmai ir risinājums.
|
||||
Šajā solī parasti ir jāpierāda, ka redukcijas algoritms ir pareizs un pareizi
|
||||
pārveido instances.
|
||||
+ Pierāda, ka, ja saistītajai problēmai ir risinājums, tad arī sākotnējai
|
||||
problēmai ir risinājums.
|
||||
Šis solis parasti ietver pierādījumu, ka redukcijas algoritmu var atgriezt
|
||||
atpakaļ, lai iegūtu risinājumu sākotnējai problēmai.
|
||||
+ Apvieno iepriekšējos soļus, lai parādītu, ka, ja sākotnējai problēmai ir
|
||||
risinājums, tad arī saistītajai problēmai ir risinājums.
|
||||
Šeit jārodas pretrunai.
|
||||
#context [
|
||||
#set par(justify: false)
|
||||
== Piemēri
|
||||
=== #halt / #acc
|
||||
- #underline("Teorēma"): Ja var atrisināt #acc, tad var atrisināt arī #halt
|
||||
- #underline("Pierādījums"): Attēlojums $R:M->M'$ ar īpašību $halt(M\#x) = acc(M'\#x)$.
|
||||
- Tad $halt(M\#x)$ var atrisināt sekojoši:
|
||||
- izrēķina $M'=R(M)$, izrēķinām, vai $acc(M'\#x)$.
|
||||
- $M'$ -- programma, ko iegūst no $M$, visur aizstājot #qrej ar #qacc.
|
||||
- Ja $M$ akceptē/noraida, tad $M'$ akceptē (izdos $1$).
|
||||
- Ja $M$ neapstājas, $M'$ arī neapstājas.
|
||||
|
||||
=== #eqans/ #acc
|
||||
- #underline("Zinām"): #acc nav atrisināma
|
||||
- #underline("Pierādām"): Ja var atrisināt #eqans, tad var atrisināt arī #acc.
|
||||
- #underline("Secinām"): #eqans nevar atrisināt.
|
||||
- Dots: $M, x$
|
||||
- Jādefinē: $M', y: eqans(M' \# x \# y) = acc(M\# x)$.
|
||||
- $y$ -- virkne no viena simbola $s$, kas nav vārdā $x$.
|
||||
- Ja $M'$ redz simbolu $s$, $M'$ akceptē, citādi darbina $M$.
|
||||
- $M'(quote.angle.l.double s quote.angle.r.double)=1$, $M'(x)=M(x)$, ja $x$ nesatur $s$.
|
||||
- $eqans(M'\# x \# quote.angle.l.double s quote.angle.r.double)=acc(M\#x)$.
|
||||
|
||||
=== #one/ #acc
|
||||
- #underline("Pierādām"): Ja var atrisināt #one, tad var atrisināt arī #acc.
|
||||
- Dots: $M, x$
|
||||
- Jādefinē: $M': one(M') = acc(M\# x)$.
|
||||
- $M'$: nodzēš no lentes ieejas virkni $y$, uzraksta $x$, palaiž $M$ programmu.
|
||||
- Jebkurai $y, M'(y)=M(x)$.
|
||||
|
||||
=== #infinite/ #acc
|
||||
- #underline("Pierādām"): Ja var atrisināt #infinite, tad var atrisināt arī #acc.
|
||||
- Dots: $M, x$
|
||||
- Jādefinē: $M': infinite(M') = acc(M\# x)$.
|
||||
- Jebkurai $y, M'(y)=M(x)$.
|
||||
- Ja $M(x)=1$, tad $M'(y)=1$ jebkurai $y$.
|
||||
|
||||
=== #equiv / #acc
|
||||
- #underline("Pierādām"): Ja var atrisināt #equiv, tad var atrisināt arī #acc.
|
||||
- Dots: $M, x$
|
||||
- Jādefinē: $M_1, M_2: equiv(M_1, M_2) = acc(M\# x)$.
|
||||
- Ja $M$ akceptē $x, M_1, M_2$ jābūt ekvivalentām.
|
||||
- Ja $M$ neakceptē $x, M_1, M_2$ nav jābūt ekvivalentām.
|
||||
- $M_1$: nodzēš ieejas virkni $y$, uzraksta $x$, darbina $M$.
|
||||
- $M_2$: uzreiz pāriet uz akceptējoši stāvokli.
|
||||
- Ja $acc(M\#x)=1$, tad $M_1(y)=1$ visiem $y$.
|
||||
Tā kā $M_2(y)=1$, tad $equiv(M_1, M_2)=1$.
|
||||
|
||||
=== #halt -- pierādījums no pretējā
|
||||
- Pieņemsism, ka ir #TM $M_H$, kas risina #halt.
|
||||
- Definē $M'$ šādā veidā:
|
||||
- Ieejas dati: $x$.
|
||||
- Atrod $x$ atbilstošo Tjūringa mašīnas programmu $M$.
|
||||
- Ja $M_H(M\#x)=1$, tad caur universālo #TM darbina $M$ uz $x$, izdod pretējo atbildi.
|
||||
- Ja $M_H(M\#x)=0$, tad izdod $1$.
|
||||
|
||||
Jebkuram $x:M'(x) != M(x)$, kur $M$ -- #TM, kas atbilst $x$.
|
||||
|
||||
=== #acc -- pierādījums no pretējā
|
||||
- Pieņem, ka #acc ir atrisināma.
|
||||
- $M(x)$:
|
||||
- Atrod ieejas virknei $x$ atbilstošo $M_i$.
|
||||
- Ja $acc(M_i \# x)=1$, $M$ izdod $0$.
|
||||
- Ja $acc(M_i \# x)=0$, $M$ izdod $1$.
|
||||
|
||||
Jebkurai $M_i$, būs $x$, kuram $M(x) != M_i(x)$.
|
||||
|
||||
=== $A(M)=1$, ja $M$ -- #TM programma un, darbinot $M$ uz tukšas ieejas virknes, tā apstājas un izdod $1$
|
||||
Pieņemsim, ka eksistē algoritms $D$ problēmai $A(M)$.
|
||||
$D$ ir algoritms, kas spēj noteikt, vai Tjūringa mašīna, $M$, apstājas un
|
||||
atgriež $1$ ar tukšu ievades virkni.
|
||||
|
||||
Tagad konstruēsim jaunu #TM, $N$:
|
||||
+ Palaiž $M$ ar tukšu ievades virkni.
|
||||
+ Ja $M$ apstājas un atgriež $1$, $N$ apstājas un atgriež $1$.
|
||||
+ Ja $M$ apstājas, bet neatgriež $1$, $N$ ieiet bezgalīgā ciklā.
|
||||
+ Ja $M$ neapstājas, $N$ apstājas un atgriež $0$.
|
||||
|
||||
Dodot algoritmam $D$ ievadi $N$ notiks sekojošais:
|
||||
- Ja $D$ atgriež $1$, tas nozīmē, ka $M$ apstājas un atgriež $1$ ar tukšu
|
||||
ievades virkni (atbilstoši $A(M)$ definīcijai).
|
||||
Šajā gadījumā $N$ apstāsies un atgriezīs $1$, un $D$ būs devis pareizu
|
||||
atbildi.
|
||||
- Ja $D$ atgriež $0$, tas nozīmē, ka vai nu $M$ neapstājas, vai $M$ apstājas,
|
||||
bet neatgriež $1$ ar tukšu ievades virkni.
|
||||
Pirmajā gadījumā $N$ apstāsies un atgriezīs $0$, kas atbilst $D$ dotajai
|
||||
atbildei.
|
||||
Tomēr otrajā gadījumā $N$ ieies bezgalīgā ciklā, un $D$ būs devis nepareizu
|
||||
atbildi.
|
||||
|
||||
Tā kā $D$ uz $N$ sniedz nepareizu atbildi vienā no gadījumiem, mēs varam
|
||||
secināt, ka problēma $A(M)$ ir #NP.
|
||||
Tāpēc neeksistē algoritms, kas spētu noteikt, vai dotā Tjūringa mašīna
|
||||
apstājas un atgriež $1$ ar tukšu ievades virkni visām iespējamām Tjūringa
|
||||
mašīnām.
|
||||
]
|
||||
|
||||
= Sarežģītības klases
|
||||
|
||||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user