Theory-of-Algorithms-Cheatsheet/main.typ

#import "@preview/finite:0.5.0": automaton
#import "@preview/fletcher:0.5.7" as fletcher: diagram, edge, node
#import "@preview/gentle-clues:1.2.0": *
#import "@preview/tablex:0.0.9": tablex
#import "layout.typ": indent-par, project

#show: project.with(title: [Theory of Algorithms Cheatsheet], authors: (
  "Kristofers Solo",
))

#let teo(title: "Teorēma", ..args) = memo(title: title, ..args)

#let TM = `TM`
#let qrej = $q_"rej"$
#let qacc = $q_"acc"$
#let halt = `HALTING`
#let halt2 = `HALTING2`
#let NP = `NP`

= Tjūringa Mašīnas
== Info
Var būt 3 veida uzdevumi: stāvokļu, tekstuāls, vairāklenšu.

#info(title: "Čērča-Tjūringa tēze")[
  Viss, ko var intuitīvi saukt par "algoritmu" vai "efektīvu procedūru", var
  tikt izpildīts ar Tjūringa mašīnu.
  Tā nav pierādāma teorēma, bet gan skaitļošanas modeļa definīcija, kurai līdz
  šim nav atrasts pretpiemērs.
]

=== Viena lente
$(q, a) -> (q', a', d)$ -- stāvoklī $q$ redzot $a$, ieraksta $a'$
un iet virzienā $d space (<- "vai" ->)$.

=== Divas lentes
$(q, a_1, a_2) -> (q', b_1, b_2, d_1, d_2)$ -- $a_1$, $b_1$, $d_1$ pirmai lentei
un $a_2$, $b_2$, $d_2$ otrai lentei.

=== Stāvēšana uz vietas
Nosimulēt stāvēšanu uz vietas jeb $d=0$ var šādi:
- $(q, a) -> (q_"new", a', ->)$
- $(q_"new", a slash b slash c slash * ) -> (q_"new", a slash b slash c slash *, <-)$

== Soļi
+ Izdomāt, kā aizstājot simbolus ar $*$ var pārbaudīt virknes derību.
+ Atcerēties par secību -- aiz $a$ var sekot tikai $b slash c$, aiz $b$ var sekot tikai $c$, utt.
+ Doties katrā no virzieniem var doties arī līdz galam jeb tukšumam $\_$.
+ Vairāklenšu #TM pārraksta pirmo daļu līdz $\#$ uz otras lentes un salīdzina.

== Piemērs
Vai ieejas virknē $a^n b^n c^n$, kur $n>0$

#context [
  $(q_1, a) -> (q_2, *, ->)$ \
  $(q_1, b slash c) -> qrej$ \
  $(q_1, *) -> (q_1, *, ->)$ \
  $(q_1, \_) -> qacc$ \

  $(q_2, a) -> (q_2, a, ->)$ \
  $(q_2, b) -> (q_3, *, ->)$ \
  $(q_2, c) -> qrej$ \
  $(q_2, *) -> (q_2, *, ->)$ \

  $(q_3, a) -> qrej$ \
  $(q_3, b) -> (q_3, b, ->)$ \
  $(q_3, c) -> (q_4, *, ->)$ \
  $(q_3, *) -> (q_3, *, ->)$ \

  $(q_4, a slash b) -> qrej$ \
  $(q_4, c) -> (q_4, c, ->)$ \
  $(q_4, \_) -> (q_5, \_, <-)$ \

  $(q_5, a slash b slash c slash *) -> (q_5, a slash b slash c slash *, <-)$ \
  $(q_5, \_) -> (q_1, \_, ->)$ \
]

- Aizstāj $a$ ar $*$, $b$ ar $*$, $c$ ar $*$.
- Kontrolē secību (pēc $a$ jāseko $a$ vai $b$, pēc $b$ jāseko $b$ vai $c$, pēc
  $c$ var sekot tikai $c$).
- Ja kādu simbolu nevar atrast, noraida.

== Piemērs
Vai ieejas virkne $x \# x$, kur $x in {0,1}^*$

#context [
  $(q_1, 0, \_) -> (q_1, 0, 0, ->, ->)$ \
  $(q_1, 1, \_) -> (q_1, 1, 1, ->, ->)$ \
  $(q_1, \#, \_) -> (q_2, \#, \_, 0, <-)$ \

  $(q_2, 0, 0) -> (q_2, 0, 0, <-)$ \
  $(q_2, 1, 1) -> (q_2, 1, 0, <-)$ \
  $(q_2, \#, \_) -> (q_3, \#, \_, ->, ->)$ \

  $(q_3, 0, 0) -> (q_3, 0, 0, ->, ->)$ \
  $(q_3, 0, 1) -> qrej$ \
  $(q_3, 1, 0) -> qrej$ \
  $(q_3, 1, 1) -> (q_3, 1, 1 ->, ->)$ \
  $(q_3, 0 slash 1, \_) -> qrej$ \
  $(q_3, \_, 0 slash 1) -> qrej$ \
  $(q_3, \_, \_) -> qacc$ \
]

- Nokopē simbolus līdz $\#$ uz otras lentes.
- Sasniedzot $\#$, uz otras lentes iet atpakaļ līdz pirmajam simbolam.
- Salīdzina pirmās lentes simbolus pēc $\#$ ar otro lenti.

= Lielais $O$ un mazais $o$
== Info
- Tiek dota funkcija un jānosaka vai tā atrisināma dotajā lielā $O$ vai mazā $o$
  laikā.
- Ja funkcija aug straujāk par lielo $O$, tad apgalvotā vienādība būs patiesa.
- Ja funkcija aug straujāk par mazo $o$, tad apgalvotā vienādība būs nepatiesa.

== Soļi
- Ja funkcija pielīdzināta lielajam $O$:
  + Salīdzina funkcijas augstāko pakāpi ar doto $O$ pakāpi.
  + Ja funkcijas pakāpe ir lielāka, tad vienādojums būs patiess, jo funkcija aug
    straujāk.
- Ja funkcija pielīdzināta mazajam $o$:
  + Jāievieto dotais robežā $lim_(x->oo)f(x)/g(x)$, kur $f(x)$ ir funkcija un
    $g(x)$ ir $o$.
  + Ja rezultāts sanāk tuvu $0$, tad vienādojums būs patiess, jo funkcija aug
    lēnāk.

== Piemērs
$ 2n^4 + 6n^2 + 17 =^? O(n^4) $

Izteiksme ir patiesa, tā kā kreisās puses izteiksmes augstākā pakāpe jeb kārta
ir $4$ un iekš $O$ tā arī ir $4$.

== Piemērs
$ 2n^4 + 6n^2 + 17 =^? O(n^3) $

Izteiksme ir aplama, jo kreisajā pusē augstākā pakāpe ir $4$, kamēr labajā ir norādīta $3$, un $4$ pakāpes izteiksmi nevar izpildīt $O(n^3)$.


== Piemērs <small-o-example-3>
$ n log^4 n =^? o(n^1.5) $

Ir zināms, ka mazajā $O$ notācijai, ja $lim_(x->oo)f(x)/g(x)$, kur $f(x)$ ir
funkcija un $g(x)$ ir $o$, tad vienādība izpildās.
Ievietojot vērtības $ lim_(n->oo) (n log^4 n)/n^1.5=0 $
Tātad vienādojums ir
patiess.

== Piemērs
$ 2^n n^2 =^? o(n^3) $

Pēc tās pašas aprakstītās īpašības, kā @small-o-example-3, sanāktu
$ lim_(n->oo) (2^n n^2)/3^n $
un tā kā $3^n$ aug ātrāk kā $2^n$, šī robeža būs $0$ un sākotnējais
vienādojums būs patiess.

== Piemērs
$ n^3 + 17n + 4 in^? O(n^3) $

Jā, $n^3 + 17n + 4 <= n^3 + 17n^3 + 4n^3 = 22n^3$.

== Piemērs
$ n^4 + 17n + 4 in^? O(n^3) $

Nē $n^4 + 17n + 4 > n^4 = n dot n^3$

= Sanumurējamība
== Info
- Bezgalīgas kopas $A$, $B$ ir vienāda izmēra, ja ir bijekcija ($1:1$ attiecība)
  $F: A->B$.
- $A$ ir sanumurējama ar atkārtojumiem, ja ir attēlojums $F:N->A$, kas par katru
  $a$ $E$ $A$ attēlo vismaz vienu $x$ $E$ $N$.
#teo[$A$ ir sanumurējama ar atkārtojumiem tad un tikai tad, ja $A$ ir sanumurējama.]

== Soļi
- Kopa ir sanumurējama, ja tajā eksistē viennozīmīga atbilstība (bijekcija)
  starp kopas elementiem un naturāliem skaitļiem.
  Citos vārdos sakot, katram kopas elementam var piešķirt unikālu naturālu
  skaitli.
- Ja kopa ir galīga, tā ir triviāli sanumurējama, jo katram elementam var
  piešķirt unikālu naturālu skaitli.
- Ja kopa ir bezgalīga, jāņem vērā divi varianti:
  - Ja var izveidot bijekciju starp kopu un naturāliem skaitļiem, tad jāpierāda,
    ka bijekcija nepastāv.
    Var skaidri definēt funkciju, kas katram kopas elementam piešķir unikālu
    naturālu skaitli un parādīt, ka tā apvieno visus elementus bez dublēšanās.
  - Ja nevar atrast bijekciju starp kopu un naturāliem skaitļiem, tad jāpierāda,
    ka bijekcija nepastāv.
    Parasti tas tiek darīts, izmantojot pierādīšanas tehnikas, piemēram,
    diagonālināciju vai pretrunu (sk. @diagonalization, @contradiction).
- Ja izdodas pierādīt, ka start kopu un naturāliem skaitļiem nav bijekcijas, tad
  kopa ir nesaskaitāma.

=== Diagonālinācija <diagonalization>
Ietver paņēmienu, ka ir saraksts vai uzskaitījums ar visiem kopas elementiem un
tiek konstruēts jauns elementu, kas neatrodas šajā sarakstā.
Tas demonstrē, ka kopa ir nesaskaitāma, jo vienmēr var izveidot jaunu elementu,
kas nav iekļauts uzskaitē.

=== Pretruna <contradiction>
Pieņem, ka kopa ir saskaitāma un tad rodas pretruna.
To var izdarīt, parādot, ka kaut kādas kopas īpašības vai kardinalitāte ir
pretrunā ar sanumurējamības pieņēmumu.

== Piemērs
Vai visu veselo skaitļu kopa $ZZ={..., -1, 0, 1, ...}$ ir sanumurējama? \
Vai ir $F:{F(1), F(2), ..., F(n), ...}=ZZ$? \


$ F(1)=0, F(2)=-1, F(3)=1, F(4)=-2, ... $

Viens no veidiem, kā izveidot bijekciju pāra kopai, ir izmantot metodi, ko sauc
par Kantoro pārošanas funkciju.
Kantora pārošanas funkcija ir definēta sekojoši:
$f(k_1, k_2) := 1/2(k_1 + k_2)(k_1 + k_2 + 1) + k_2$, kur $k_1,k_2 in NN = {0, 1, 2, ...}$

#figure(
  image("assets/img/cantors-pairing-function.png", width: 50%),
  caption: "Cantor's pairing function",
)

Šī funkcija kā ievadi pieņem naturālo skaitļu pāri $(k_1, k_2)$ un to attēlo
kā unikālu naturālo skaitli.
Tā nodrošina, ka katram pārim tiek piešķirts unikāls skaitlis un tiek aptverti
visi iespējamie pāri bez atkārtojumiem.

Lai pierādītu, ka naturālo skaitļu pāru $(k_1, k_2)$ kopa ir saskaitāma, mēs
varam parādīt, ka funkcija $f(k_1, k_2)$ nodrošina bijekciju starp naturālo
skaitļu pāru kopu un naturālo skaitļu kopu.

=== Injektivitāte
Pieņemsim, ka $f(k_1, k_2) = f(k_3, k_4)$, kur $(k_1, k_2)$ un $(k_3, k_4)$
ir atšķirīgi pāri no naturālo skaitļu kopas.
Vienkāršojot un nolīdzinot izteiksmes, varam parādīt, ka
$k_1 = k_3$ un $k_2 = k_4$.
Tātad funkcija $f$ ir injektīva.

=== Surjektivitāte
Jebkuram naturālam skaitlim $n$ varam atrast pāri $(k_1, k_2)$, kas tiek
attēlots uz $n$, izmantojot Kantora pārošanas funkcijas apgriezto funkciju.
Pielietojot apgriezto funkciju uz $n$, varam atgūt sākotnējo pāri $(k_1, k_2)$.
Tādējādi funkcija $f$ ir surjektīva.

= Redukcijas
Dota problēma $halt2(M, x, y) = 1$, kur Tjūringa mašīna $M$ apstājas vismaz uz
vienas no ievadēm $x$ vai $y$.
Pierādīt, ka to var vai nevar reducēt uz $halt(halt <= halt 2)$.

Lai pierādītu, ka problēmu $halt2(M, x, y)$ var reducēt uz #halt, mums jāparāda,
ka varam konstruēt Tjūringa mašīnu, kas atrisina #halt2, izmantojot #halt
atrisināšanas apakšprogrammu.

Pieņemsim, ka mums ir Tjūringa mašīna $H$, kas atrisina #halt problēmu.
Konstruēsim jaunu Tjūringa mašīnu $H 2$, kas atrisina #halt2 problēmu,
izmantojot $H$ kā apakšprogrammu.

Tjūringa mašīna $H 2$ darbojas sekojoši:
- Doti ievades dati $M$, $x$ un $y$.
- Palaiž $H$ ar ievaddatiem $(M, x)$.
- Ja $H$ akceptē $(M, x)$, apstājas un akceptē.
- Ja $H$ noraida $(M, x)$, palaiž $H$ ar ievaddatiem $(M, y)$.
- Ja $H$ akceptē $(M, y)$, apstājas un akceptē.
- Ja $H$ noraida $(M, y)$, apstājas un noraida.

Konstruējot $H 2$ šādā veidā, mēs simulējam $H$ darbību uz abām ievadēm $x$ un
$y$.
Ja $H$ akceptē vai nu $(M, x)$ vai $(M, y)$, arī $H 2$ akceptēs un apstāsies.
Ja $H$ noraida gan $(M, x)$, gan $(M, y)$, arī $H 2$ noraidīs un apstāsies.

Redukcijas analīze:
- Ja $halt2(M, x, y) = 1$, tas nozīmē, ka Tjūringa mašīna $M$ apstājas vismaz uz
  vienas no ievadēm $x$ vai $y$.
  Šajā gadījumā $H 2$ arī apstāsies un akceptēs, jo tā veiksmīgi simulē $H$ uz
  abām ievadēm un akceptē, ja $H$ akceptē kādu no tām.
  Tādējādi #halt2 tiek reducēta uz #halt.
- Ja $halt2(M, x, y) = 0$, tas nozīmē, ka Tjūringa mašīna $M$ neapstājas ne uz
  $x$, ne uz $y$.
  Šajā gadījumā #halt2 arī neapstāsies un noraidīs, jo tā simulē $H$ uz abām
  ievadēm un noraida, ja $H$ norada abas.
  Tādējādi #halt2 tiek reducēta uz #halt.

Tātad esam pierādījuši, ka problēmu #halt2 var reducēt uz #halt, konstruējot
Tjūringa mašīnu $H 2$, kas izmanto $H$ kā apakšprogrammu.
Šī redukcija parāda, ka #halt2 skaitļošanas ziņā nav sarežģītāka par #halt, kas
nozīmē, ka #halt2 ir vismaz tikpat neizsķirama kā #halt.

= Daļēja atrisināmība
== Info
Problēma tiek uzskatīta par daļēji atrisināmu (vai algoritmiski sanumurējamu),
ja tā nav izšķirama, kas nozīmē, ka nav algoritma, kas varētu pareizi noteikt
"jā" vai "nē" atbildi katram problēmas ievades gadījumam.

Tjūringa mašīnu un algoritmu teorijas kontekstā, problēma ir daļēji atrisināma,
ja eksistē Tjūringa mašīna, kas apstājas un dod "jā" atbildi katram gadījumam,
kas pieder problēmai, bet var vai nu darboties bezgalīgi, vai noraidīt
gadījumus, kas nepieder problēmai.
Citiem vārdiem sakot, ir algoritms, kas var atpazīt gadījumus, kas atbilst
problēmas kritērijiem, bet var neapstāties uz gadījumiem, kas neatbilst.

Tas, ka problēma ir daļēji atrisināma, nozīmē, ka nav konkrēta algoritma, kas
vienmēr varētu sniegt pareizu "nē" atbildi gadījumiem ārpus problēmas.
Var būt iespējams konstruēt Tjūringa mašīnu, kas apstājas un sniedz "nē" atbildi
noteiktiem gadījumiem ārpus problēmas, bet tas nav garantēts visiem gadījumiem

#teo(
  title: "Raisa teorēma",
)[Ja $F$ nav triviāla (ir $M:F(M)=0$ un $M':F(M')=1$), tad $F$ -- neatrisināma.]

$A$ -- daļēji atrisināma, ja ir Tjūringa mašīna $T$:
- Ja $A(x)=1$, tad $T(x)=1$.
- Ja $A(x)=0$, tad $T(x)=0$ vai $T(x)$ neapstājas.

#teo[$A$ -- daļēji atrisināma tad un tikai tad, ja $A$ -- algoritmiski sanumurējama.]

= Algoritmiskā sanumurējamība
== Info
- Kopa $A$ ir sanumurējama, ja $A={x_1, x_2, ...}$
- Kopa $A$ ir algoritmiski sanumurējama, ja ir Tjūringa mašīna, kas izdod virkni
  $x_1, x_2, ...$, kurai $A={x_1, x_2, ...}$
#let DL = `DL`
#let IL = `IL`
Divu lenšu #TM, kur viena ir klasiska darba lente (#DL) un otra ir izvada
lente (#IL) (tikai rakstīšanai).

== Piemērs
Pamatot, ka kopa ${a^k b^k mid(|) k>=0}$ ir algoritmiski sanumurējama.

+ Uzraksta uz izejas lentes tukšu vārdu.
+ Uzraksta vienu $a$ uz darba lentes.
+ Atkārto:
  + Uz ieejas lentes uzrakstām tikpat $a$, cik bija uz #DL;
  + Uz izejas lentes uzrakstām tikpat $b$, cik $a$ bija uz #DL;
  + Uz izejas lentes uzrakstām $\_$;
  + Uz darba lentes pierakstām klāt vienu $a$.
+ Izejas lente $=epsilon, a b, a a b b, a a a b b b,...$

== Piemērs
Pamatot, ka kopa ${x \# x mid(|) x in {a, b}^* }$ ir algoritmiski sanumurējama.

+ Uz darba lentes iet cauri visiem $x$.
+ Katram $x$ uz izejas lentes uzraksta $x \# x$.
+ Uz izejas lentes uzraksta $\#\_$.
+ Uz darba lentes uzraksta $a$.
+ Atkārto:
  + Pārraksta darba lentes saturu $x$ uz izejas lenti;
  + Uzraksta $\#$ uz #IL, vēlreiz pārraksta $x$ uz #IL, uzrakstām $\_$ uz #IL.
  + Uz #DL nomaina $x$ pret nākošo vārdu.

= #TM darbības laiks
== Info
- Laiks ir soļu skaits un ir atkarīgs no ieejas virknes $x_1, x_2, ..., x_n$.
- Ja ir algoritms ar sarežģītību $n^2$, tad bieži ir arī algoritms ar
  sarežģītību $n^2/2, n^2/3,...$

== Soļi
+ Identify the key operations or steps performed by the Turing machine for each
  input.
  + This could include reading symbols from the tape, writing symbols to the
    tape, moving the tape head, performing computations, or making decisions
    based on the current state and input symbol.
+ Determine the worst-case scenario.
  + Analyze the input or sequence of inputs that would require the maximum
    number of steps for the Turing machine to complete its computation.
  + Consider inputs that maximize the number of iterations or force the machine
    to explore all possible branches of computation.
+ Express the runtime in terms of the input size.
  + Define a function that represents the number of steps or transitions taken
    by the Turing machine as a function of the input size.
  + For example, if the input size is $n$, the runtime function could be denoted
    as $f(n)$.
+ Simplify the runtime function and express it using Big $O$ notation.
  + Big $O$ notation provides an upper bound on the growth rate of the runtime
    function as the input size increases.
  + Remove constant factors and lower-order terms from the runtime function to
    focus on the dominant term that represents the growth rate.
  + Express the simplified runtime function using the appropriate Big $O$ notation,
    such as $O(n)$, $O(n log n)$, $O(n^2)$, $O(2^n)$, etc.

+ Identificēt galvenās operācijas vai soļus, ko Tjūringa mašīna veic katrai
  ievadei.
  + Tas varētu ietvert simbolu lasīšanu no lentes, simbolu rakstīšanu lentē,
    lentes galviņas pārvietošanu, aprēķinu veikšanu vai lēmumu pieņemšanu,
    pamatojoties uz pašreizējo stāvokli un ievades simbolu.
+ Noteikt sliktākā gadījuma scenāriju.
  + Analizēt ievadi vai ievades secību, kas prasītu maksimālo soļu skaitu,
    lai Tjūringa mašīna pabeigtu savu aprēķinu.
  + Apsvērt ievades, kas maksimizē iterāciju skaitu vai liek mašīnai izpētīt
    visas iespējamās aprēķinu zaru versijas.
+ Izteikt darbības laiku atkarībā no ievades izmēra.
  + Definēt funkciju, kas attēlo Tjūringa mašīnas veikto soļu vai pāreju
    skaitu kā funkciju no ievad izmēra.
  + Piemēram, ja ievades izmērs ir $n$, darbības laika funkciju varētu apzīmēt
    kā $f(n)$.
+ Vienkāršot darbības laika funkciju un izsakot to, izmantojot lielā $O$
  notāciju.
  + Lielā $O$ notācija nodrošina augšējo robežu darbības laika funkcijas
    pieauguma ātrumam, palielinoties ievaddatu izmēram.
  + Noņemt konstantes faktorus un zemākas kārtas locekļus no darbības laika
    funkcijas, lai koncentrētos uz dominējošo locekli, kas atspoguļo pieauguma
    ātrumu.
+ Izteikt vienkāršoto darbības laika funkciju, izmantojot atbilstošo lielā $O$
  notāciju, piemēram, $O(n)$, $O(n log n)$, $O(n^2)$, $O(2^n)$ utt.

== Piemērs
Vai ieejas virknē ir vienāds skaits $a$ un $b$?

+ Virzās no kreisās puses uz labo, aizstājot vienu $a$ un vienu $b$ ar $x$;
+ Ja neatrod nedz $a$, nedz $b$, akceptē;
+ Ja neatrod vienu no $a$ vai $b$, noraida;
+ Ja atrod gan $a$, gan $b$, virzās atpakaļ uz pirmo simbolu un atkārto.

Kopējais soļu skaits:
- Ne vairāk kā $(n/2+1) 2n = n^2 + 2n$ soļi.
- Ja $n$ nav ļoti mazs, $n^2$ būs vairāk nekā $2n$ un soļu skaits $O(n^2)$.

= #NP (neatrisināmas problēmas)

#let acc = `ACCEPTING`
#let eqans = `EQUAL_ANSWERS`
#let one = `ONE`
#let infinite = `INFINITE`
#let equiv = `EQUIV`
#let hamcycle = `HAMCYCLE`
#let linineq = `LIN-INEQ`
#let M1 = $M 1$
#let M2 = $M 2$
#let SAT = `SAT`

== Info
- $halt(M\# x)=1$, ja $M$ apstājas, ja ieejas virkne $=x$.
- $acc(M\# x)=1$, ja $M$ uz ieejas virknes izdod atbildi $1$.
- $eqans(M\# x \# y)=1$, ja $M$ uz ieejas virknēm $x$ un $y$ izdod vienādas atbildes.
- $one(M)=1$, ja eksistē ieejas virkne $x$, uz kuras $M$ izdod atbildi $1$.
- $infinite(M)=1$, ja eksistē bezgalīgi daudzas ieejas virknes $x$, uz kurām $M$ izdod atbildi $1$.
- $equiv(M 1, M 2)=1$, ja $M1(x)=M2(x)$
- $hamcycle(G)=1$, ja grafā $G$ ir cikls (šķautņu virkne
  $v_1 v_2,v_2 v_3, ..., v_n v_1$), kurā katra virsotne ir tieši $1$ reizi.
- $linineq(S)=1$, ja sistēmai ir atrisinājums $x_1, x_2, ..., x_n in {0,1}$

#info[Ja var atrisināt #acc, tad var atrisināt arī #halt.]
#info[Ja var atrisināt #eqans / #one / #infinite / #equiv, tad var atrisināt arī #acc.]

== Soļi
+ Skaidri definē problēmu, kuru vēlas pierādīt kā #NP -- norādot, kas ir derīga
  ievade un kādus rezultātus programmai paredzēts izvadīt.
+ Pieņem, ka eksistē algoritms vai #TM, kas spēj atrisināt problēmu visiem
  iespējamiem ievaddatiem.
  Šī pieņēmuma mērķis ir rādīt pretrunu.
+ Definē citu problēmu, kas var tikt samazināta līdz sākotnējai problēmai.
  Tas nozīmē, ka, ja var atrisināt sākotnējo problēmu, var atrisināt arī
  saistīto problēmu.
+ Izveido transformācijas vai redukcijas algoritmu, kas ņem saistītās problēmas
  instanci un pārveido to par sākotnējās problēmas instanci. Šai redukcijai
  vajadzētu saglabāt atbildi uz saistīto problēmu.
+ Pierāda, ka, ja sākotnējai problēmai ir risinājums, tad arī saistītajai
  problēmai ir risinājums.
  Šajā solī parasti ir jāpierāda, ka redukcijas algoritms ir pareizs un pareizi
  pārveido instances.
+ Pierāda, ka, ja saistītajai problēmai ir risinājums, tad arī sākotnējai
  problēmai ir risinājums.
  Šis solis parasti ietver pierādījumu, ka redukcijas algoritmu var atgriezt
  atpakaļ, lai iegūtu risinājumu sākotnējai problēmai.
+ Apvieno iepriekšējos soļus, lai parādītu, ka, ja sākotnējai problēmai ir
  risinājums, tad arī saistītajai problēmai ir risinājums.
  Šeit jārodas pretrunai.
#context [
  #set par(justify: false)
  == Piemēri
  === #halt / #acc
  - #underline("Teorēma"): Ja var atrisināt #acc, tad var atrisināt arī #halt
  - #underline("Pierādījums"): Attēlojums $R:M->M'$ ar īpašību $halt(M\#x) = acc(M'\#x)$.
  - Tad $halt(M\#x)$ var atrisināt sekojoši:
  - izrēķina $M'=R(M)$, izrēķinām, vai $acc(M'\#x)$.
  - $M'$ -- programma, ko iegūst no $M$, visur aizstājot #qrej ar #qacc.
  - Ja $M$ akceptē/noraida, tad $M'$ akceptē (izdos $1$).
  - Ja $M$ neapstājas, $M'$ arī neapstājas.

  === #eqans/ #acc
  - #underline("Zinām"): #acc nav atrisināma
  - #underline("Pierādām"): Ja var atrisināt #eqans, tad var atrisināt arī #acc.
  - #underline("Secinām"): #eqans nevar atrisināt.
  - Dots: $M, x$
  - Jādefinē: $M', y: eqans(M' \# x \# y) = acc(M\# x)$.
  - $y$ -- virkne no viena simbola $s$, kas nav vārdā $x$.
  - Ja $M'$ redz simbolu $s$, $M'$ akceptē, citādi darbina $M$.
  - $M'(quote.angle.l.double s quote.angle.r.double)=1$, $M'(x)=M(x)$, ja $x$ nesatur $s$.
  - $eqans(M'\# x \# quote.angle.l.double s quote.angle.r.double)=acc(M\#x)$.

  === #one/ #acc
  - #underline("Pierādām"): Ja var atrisināt #one, tad var atrisināt arī #acc.
  - Dots: $M, x$
  - Jādefinē: $M': one(M') = acc(M\# x)$.
  - $M'$: nodzēš no lentes ieejas virkni $y$, uzraksta $x$, palaiž $M$ programmu.
  - Jebkurai $y, M'(y)=M(x)$.

  === #infinite/ #acc
  - #underline("Pierādām"): Ja var atrisināt #infinite, tad var atrisināt arī #acc.
  - Dots: $M, x$
  - Jādefinē: $M': infinite(M') = acc(M\# x)$.
  - Jebkurai $y, M'(y)=M(x)$.
  - Ja $M(x)=1$, tad $M'(y)=1$ jebkurai $y$.

  === #equiv / #acc
  - #underline("Pierādām"): Ja var atrisināt #equiv, tad var atrisināt arī #acc.
  - Dots: $M, x$
  - Jādefinē: $M_1, M_2: equiv(M_1, M_2) = acc(M\# x)$.
  - Ja $M$ akceptē $x, M_1, M_2$ jābūt ekvivalentām.
  - Ja $M$ neakceptē $x, M_1, M_2$ nav jābūt ekvivalentām.
  - $M_1$: nodzēš ieejas virkni $y$, uzraksta $x$, darbina $M$.
  - $M_2$: uzreiz pāriet uz akceptējoši stāvokli.
  - Ja $acc(M\#x)=1$, tad $M_1(y)=1$ visiem $y$.
  Tā kā $M_2(y)=1$, tad $equiv(M_1, M_2)=1$.

  === #halt -- pierādījums no pretējā
  - Pieņemsism, ka ir #TM $M_H$, kas risina #halt.
  - Definē $M'$ šādā veidā:
    - Ieejas dati: $x$.
    - Atrod $x$ atbilstošo Tjūringa mašīnas programmu $M$.
    - Ja $M_H(M\#x)=1$, tad caur universālo #TM darbina $M$ uz $x$, izdod pretējo atbildi.
    - Ja $M_H(M\#x)=0$, tad izdod $1$.

  Jebkuram $x:M'(x) != M(x)$, kur $M$ -- #TM, kas atbilst $x$.

  === #acc -- pierādījums no pretējā
  - Pieņem, ka #acc ir atrisināma.
  - $M(x)$:
    - Atrod ieejas virknei $x$ atbilstošo $M_i$.
    - Ja $acc(M_i \# x)=1$, $M$ izdod $0$.
    - Ja $acc(M_i \# x)=0$, $M$ izdod $1$.

  Jebkurai $M_i$, būs $x$, kuram $M(x) != M_i(x)$.

  === $A(M)=1$, ja $M$ -- #TM programma un, darbinot $M$ uz tukšas ieejas virknes, tā apstājas un izdod $1$
  Pieņemsim, ka eksistē algoritms $D$ problēmai $A(M)$.
  $D$ ir algoritms, kas spēj noteikt, vai Tjūringa mašīna $M$, apstājas un
  atgriež $1$ ar tukšu ievades virkni.

  Tagad konstruēsim jaunu #TM, $N$:
  + Palaiž $M$ ar tukšu ievades virkni.
  + Ja $M$ apstājas un atgriež $1$, $N$ apstājas un atgriež $1$.
  + Ja $M$ apstājas, bet neatgriež $1$, $N$ ieiet bezgalīgā ciklā.
  + Ja $M$ neapstājas, $N$ apstājas un atgriež $0$.

  Dodot algoritmam $D$ ievadi $N$ notiks sekojošais:
  - Ja $D$ atgriež $1$, tas nozīmē, ka $M$ apstājas un atgriež $1$ ar tukšu
    ievades virkni (atbilstoši $A(M)$ definīcijai).
    Šajā gadījumā $N$ apstāsies un atgriezīs $1$, un $D$ būs devis pareizu
    atbildi.
  - Ja $D$ atgriež $0$, tas nozīmē, ka vai nu $M$ neapstājas, vai $M$ apstājas,
    bet neatgriež $1$ ar tukšu ievades virkni.
    Pirmajā gadījumā $N$ apstāsies un atgriezīs $0$, kas atbilst $D$ dotajai
    atbildei.
    Tomēr otrajā gadījumā $N$ ieies bezgalīgā ciklā, un $D$ būs devis nepareizu
    atbildi.

  Tā kā $D$ uz $N$ sniedz nepareizu atbildi vienā no gadījumiem, mēs varam
  secināt, ka problēma $A(M)$ ir #NP.
  Tāpēc neeksistē algoritms, kas spētu noteikt, vai dotā Tjūringa mašīna
  apstājas un atgriež $1$ ar tukšu ievades virkni visām iespējamām Tjūringa
  mašīnām.
]

#teo(
  title: "Kuka-Levina teorēma",
)[#SAT problēma (Boolean satisfiability problem) ir NP-pilna.]

#info[
  #SAT problēma: dots Būla algebras izteikums, vai ir iespējams piešķirt
  mainīgajiem vērtības (patiess/aplams) tā, lai viss izteikums būtu
  patiess?
]
Šī teorēma bija pirmā, kas pierādīja kādas problēmas NP-pilnību.
Pēc tās, lai pierādītu, ka cita problēma $L$ ir NP-pilna, pietiek parādīt,
ka $L in NP$ un ka $SAT <_p L$ (vai jebkura cita zināma NP-pilna problēma).

= Sarežģītības klases
#let time = `TIME`
== Info
$n, n log n, n^2, n^3, 2^n$

$time(f(n))$ -- problēmas $L$, kurām eksistē Tjūringa mašīna $M$, kas pareizi
risina $L$ un izmanto $O(f(n))$ soļus.

#info(
  title: "Vispārīgāk",
)[Ja $a<b$, tad $n^3 in o(n^b)$, jo $n^a/n^b=1/n^(b-a)->0$.]

$ lim n/2^n=lim (n)'/(2^n)'=lim 1/(2^n ln 2) $

Augot $n$, $2^n->oo$, tātad $1/n^2->0$.

$ n^2/2^n=(n/2^(n slash 2))^2 $
Mēs zinām, ka $n/2^(n slash 2)->0$.

$ lim (log n)/n = lim (log n)'/(n)' = lim (1 slash n)/1 = lim 1/n $

$ lim (log^17 n)/n = lim (m^17)/c^m = lim (m/c^(m slash 17))^17 -> 0 $

- $time(n)$ -- `2x` lielākā laikā var atrisināt problēmu `2x` lielākam $n$.
- $time(n^2)$ -- `4x` lielākā laikā var atrisināt problēmu `2x` lielākam $n$.
- $time(n^3)$ -- `8x` lielākā laikā var atrisināt problēmu `2x` lielākam $n$.

= Extras
== Logaritmu īpašības

#context [
  #set text(size: 10pt)
  #show math.equation: set text(weight: 400, size: 8pt)

  #figure(table(
    columns: 3,
    [*Property*], [*Definition*], [*Example*],
    [Product],
    $ log_b m n = log_b m + log_b n $,
    $ log_3 9 = log_3 9 + log_3 x $,

    [Quotient],
    $ log_b m/n = log_b m - log_b n $,
    $
      log_(1/4) 4/5 = log_(1/4) 4
      - log_(1/4) 5
    $,

    [Power], $ log_b m^p=p dot log_b m $, $ log_2 8^x = x dot log_2 8 $,
    [Equality],
    $ "If" log_b m = log_b n, \ "then" m=n $,
    $
      log_8(3x-4)=log_8(5x+2) \
      "so," 3x-4=5x+2
    $,
  ))
]