mirror of
https://github.com/kristoferssolo/Theory-of-Algorithms-Cheatsheet.git
synced 2025-10-21 20:10:39 +00:00
minor changes
This commit is contained in:
parent
1681f7fe8e
commit
18dd44645a
GPG Key ID:
8687F2D3EEE6F0ED
@ -55,6 +55,8 @@
|
||||
// Headings
|
||||
set heading(numbering: "1.1.")
|
||||
|
||||
set footnote(numbering: "*")
|
||||
|
||||
// Start page numbering
|
||||
set page(numbering: "1", number-align: center)
|
||||
|
||||
|
||||
167
main.typ
167
main.typ
@ -5,10 +5,12 @@
|
||||
#import "layout.typ": indent-par, project
|
||||
|
||||
#show: project.with(title: [Theory of Algorithms Cheatsheet], authors: (
|
||||
"Kristofers Solo", "jorenchik"
|
||||
"Kristofers Solo",
|
||||
"jorenchik",
|
||||
))
|
||||
|
||||
#let teo(title: "Teorēma", ..args) = memo(title: title, ..args)
|
||||
#let uzd(title: "Uzdevums", ..args) = question(title: title, ..args)
|
||||
|
||||
#let TM = $"TM"$
|
||||
#let qrej = $q_"rej"$
|
||||
@ -16,7 +18,7 @@
|
||||
#let halt = $"HALTING"$
|
||||
#let halt2 = $"HALTING"_2$
|
||||
#let NP = $"NP"$
|
||||
#let hline = $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$
|
||||
#let hline = line(length: 50%, stroke: 0.5pt)
|
||||
|
||||
= Tjūringa Mašīnas
|
||||
== Variācijas
|
||||
@ -29,17 +31,16 @@ Var būt 3 veida uzdevumi: stāvokļu, tekstuāls, vairāklenšu.
|
||||
šim nav atrasts pretpiemērs.
|
||||
]
|
||||
|
||||
=== Viena lente<one_tape>
|
||||
=== Viena lente <one_tape>
|
||||
$(q, a) -> (q', a', d)$ -- stāvoklī $q$ redzot $a$, ieraksta $a'$
|
||||
un iet virzienā $d space (<- "vai" ->)$.
|
||||
|
||||
=== Divas (vai vairākas fiksētas) lentes
|
||||
$(q, a_1, a_2) -> (q', b_1, b_2, d_1, d_2)$ -- $a_1$, $b_1$, $d_1$ pirmai
|
||||
lentei un $a_2$, $b_2$, $d_2$ otrai lentei. Svarīga atšķirība ir ka
|
||||
vairlāklenšu TM papildus $<-$ un $->$ virzieniem ir $arrow.b$ (stāvēšana uz
|
||||
vietas).
|
||||
|
||||
\* Derīgs ar uzdevumiem, kur palīdz kopēšana/salīdzināšana.
|
||||
lentei un $a_2$, $b_2$, $d_2$ otrai lentei.
|
||||
Svarīga atšķirība ir ka vairlāklenšu #TM papildus $<-$ un $->$ virzieniem ir
|
||||
$arrow.b$ (stāvēšana uz vietas). #footnote[Derīgs ar uzdevumiem, kur palīdz
|
||||
kopēšana/salīdzināšana.]
|
||||
|
||||
=== Stāvēšana uz vietas
|
||||
Nosimulēt stāvēšanu uz vietas jeb $d=0$ var šādi:
|
||||
@ -49,12 +50,12 @@ Nosimulēt stāvēšanu uz vietas jeb $d=0$ var šādi:
|
||||
=== Modelis, ko pamatā izmanto šajā kursā!
|
||||
|
||||
Šajā kursā fokusējas uz TM, kas ir:
|
||||
+ Vienas lentes (skat. @one_tape);
|
||||
+ Bezgalīga vienā virzienā -- pa labi;
|
||||
+ Pirmais simbols ir tukšais simbols (`_`);
|
||||
+ Pēc pirmā simbola ir ievade;
|
||||
+ Pēc ievades ir bezgalīgs tukšu simbolu skaits;
|
||||
+ Sāk uz pirmā ievades simbola (viens pēc pirmā tukšuma).
|
||||
+ Vienas lentes (skat. @one_tape);
|
||||
+ Bezgalīga vienā virzienā -- pa labi;
|
||||
+ Pirmais simbols ir tukšais simbols (`_`);
|
||||
+ Pēc pirmā simbola ir ievade;
|
||||
+ Pēc ievades ir bezgalīgs tukšu simbolu skaits;
|
||||
+ Sāk uz pirmā ievades simbola (viens pēc pirmā tukšuma).
|
||||
|
||||
== Risinājuma shēma
|
||||
+ Izdomāt, kā aizstājot simbolus ar $*$ var pārbaudīt virknes derību.
|
||||
@ -220,7 +221,7 @@ Surjekcija: katram $z in ZZ$ eksistē $n in NN$, ka $F(n) = z$.
|
||||
== Definīcija
|
||||
|
||||
- $A <= B$, ja ir ar Tjūringa mašīnu izrēķināms pārveidojums
|
||||
- $R$: (ieejas dati $A$) -> (ieejas dati $B$),
|
||||
- $R$: (ieejas dati $A$) $->$ (ieejas dati $B$),
|
||||
- $B(R(x)) = A(x)$.
|
||||
|
||||
Ja $A <= B$ -- ja var atrisināt $B$, tad var atrisināt $A$. $A$ ir reducējuma
|
||||
@ -233,7 +234,7 @@ Ja $A <= B and A >= B$, tad $A$ un $B$ ir ekvivalentas.
|
||||
// Jorens: Originally šeit bija sajaukta secība, bet uzdevums ir kinda valīds
|
||||
// abās pusēs, kopumā risinājums ir nedaudz problemātisks.
|
||||
|
||||
#quote[
|
||||
#uzd[
|
||||
Dota problēma $halt2(M, x, y) = 1$, kur Tjūringa mašīna $M$ apstājas vismaz uz
|
||||
vienas no ievadēm $x$ vai $y$. Pierādīt, ka to var vai nevar reducēt uz
|
||||
$halt$, tas ir parādīt $(halt 2 <= halt)$.
|
||||
@ -331,7 +332,7 @@ nevar atrisināt.
|
||||
- $infinite(M)=1$, ja eksistē bezgalīgi daudzas ieejas virknes $x$, uz kurām $M$ izdod atbildi $1$.
|
||||
- $equiv(M 1, M 2)=1$, ja $M1(x)=M2(x)$
|
||||
- $"PCP"(S_1, S_2)=1$ (Post-correspondance problem), ja divām galībām kopām $A = [a_1,
|
||||
a_2, ..., a_n]$ un $B = [b_1, b_2, dots, b_n]$ var izvēlēties indeksu secības
|
||||
a_2, ..., a_n]$ un $B = [b_1, b_2, dots, b_n]$ var izvēlēties indeksu secības
|
||||
$a_("i1") a_("i2") ... a_("ik")$ = $b_("i1") b_("i2") ... b_("ik")$ (tā lai
|
||||
konkatenācijas būtu vienādas); domino kauliņi ar augšu un apakšu, ko saliekot
|
||||
kopā, globālai augšai un apakšai jāsakrīt.
|
||||
@ -369,7 +370,7 @@ nevar atrisināt.
|
||||
#context [
|
||||
#set par(justify: false)
|
||||
== Piemēri (prob. ir neatr)
|
||||
=== #halt <= #acc
|
||||
=== $halt <= acc$
|
||||
- #underline("Teorēma"): Ja var atrisināt #acc, tad var atrisināt arī #halt
|
||||
- #underline("Pierādījums"): Attēlojums $R:M->M'$ ar īpašību $halt(M\#x) = acc(M'\#x)$.
|
||||
- Tad $halt(M\#x)$ var atrisināt sekojoši:
|
||||
@ -378,7 +379,7 @@ nevar atrisināt.
|
||||
- Ja $M$ akceptē/noraida, tad $M'$ akceptē (izdos $1$).
|
||||
- Ja $M$ neapstājas, $M'$ arī neapstājas.
|
||||
|
||||
=== #acc <= #eqans
|
||||
=== $acc <= eqans$
|
||||
- #underline("Zinām"): #acc nav atrisināma
|
||||
- #underline("Pierādām"): Ja var atrisināt #eqans, tad var atrisināt arī #acc.
|
||||
- #underline("Secinām"): #eqans nevar atrisināt.
|
||||
@ -389,21 +390,21 @@ nevar atrisināt.
|
||||
- $M'(quote.angle.l.double s quote.angle.r.double)=1$, $M'(x)=M(x)$, ja $x$ nesatur $s$.
|
||||
- $eqans(M'\# x \# quote.angle.l.double s quote.angle.r.double)=acc(M\#x)$.
|
||||
|
||||
=== #acc <= #one
|
||||
=== $acc <= one$
|
||||
- #underline("Pierādām"): Ja var atrisināt #one, tad var atrisināt arī #acc.
|
||||
- Dots: $M, x$
|
||||
- Jādefinē: $M': one(M') = acc(M\# x)$.
|
||||
- $M'$: nodzēš no lentes ieejas virkni $y$, uzraksta $x$, palaiž $M$ programmu.
|
||||
- Jebkurai $y, M'(y)=M(x)$.
|
||||
|
||||
=== #acc <= #infinite
|
||||
=== $acc <= infinite$
|
||||
- #underline("Pierādām"): Ja var atrisināt #infinite, tad var atrisināt arī #acc.
|
||||
- Dots: $M, x$
|
||||
- Jādefinē: $M': infinite(M') = acc(M\# x)$.
|
||||
- Jebkurai $y, M'(y)=M(x)$.
|
||||
- Ja $M(x)=1$, tad $M'(y)=1$ jebkurai $y$.
|
||||
|
||||
=== #acc <= #equiv
|
||||
=== $acc <= equiv$
|
||||
- #underline("Pierādām"): Ja var atrisināt #equiv, tad var atrisināt arī #acc.
|
||||
- Dots: $M, x$
|
||||
- Jādefinē: $M_1, M_2: equiv(M_1, M_2) = acc(M\# x)$.
|
||||
@ -542,7 +543,7 @@ ievadi $y$.
|
||||
Pēc nekustīgā punkta teorēmas eksistē $x$, ka
|
||||
|
||||
$
|
||||
phi_(F(x)) = phi_x.
|
||||
phi_(F(x)) = phi_x.
|
||||
$
|
||||
|
||||
+ Tātad eksistē tāds $x$, ka $x$ ir funkcionāli ekvivalenta $F(x)$.
|
||||
@ -579,12 +580,12 @@ $17n^2 + 23n + 4 \leq 17n^2 + 23n^2 + 4n^2 = 44n^2$
|
||||
tātad $C = 44$.
|
||||
*/
|
||||
|
||||
=== Mazais-o (formālā definīcija)
|
||||
=== Mazais-$o$ (formālā definīcija)
|
||||
|
||||
$f(n) in o(g(n))$, ja:
|
||||
|
||||
$
|
||||
lim_(i -> infinity) f(n) / g(n) = 0
|
||||
lim_(i -> infinity) f(n) / g(n) = 0
|
||||
$
|
||||
|
||||
Tas nozīmē, ka funkcija $f(n)$ kļūst nenozīmīga attiecībā pret $g(n)$, $n$
|
||||
@ -616,30 +617,30 @@ par lielo $O$.
|
||||
+ Jāievieto dotais robežā $lim_(x->oo)f(x)/g(x)$;
|
||||
+ Rezultāts ir 0, patiess, citādi -- nepatiess.
|
||||
|
||||
=== Piemērs (lielais-O)
|
||||
=== Piemērs (lielais-$O$)
|
||||
|
||||
$ 2n^4 + 6n^2 + 17 =^? O(n^4) $
|
||||
|
||||
Izteiksme ir patiesa, tā kā kreisās puses izteiksmes augstākā pakāpe jeb kārta
|
||||
ir $4$ un iekš $O$ tā arī ir $4$.
|
||||
|
||||
=== Piemērs (lielais-O)
|
||||
=== Piemērs (lielais-$O$)
|
||||
$ 2n^4 + 6n^2 + 17 =^? O(n^3) $
|
||||
|
||||
Izteiksme ir aplama, jo kreisajā pusē augstākā pakāpe ir $4$, kamēr labajā ir
|
||||
norādīta $3$, un $4$ pakāpes izteiksmi nevar izpildīt $O(n^3)$.
|
||||
|
||||
=== Piemērs (lielais-O)
|
||||
=== Piemērs (lielais-$O$)
|
||||
$ n^3 + 17n + 4 in^? O(n^3) $
|
||||
|
||||
Jā, $n^3 + 17n + 4 <= n^3 + 17n^3 + 4n^3 = 22n^3$.
|
||||
|
||||
=== Piemērs (lielais-O)
|
||||
=== Piemērs (lielais-$O$)
|
||||
$ n^4 + 17n + 4 in^? O(n^3) $
|
||||
|
||||
Nē $n^4 + 17n + 4 > n^4 = n dot n^3$
|
||||
|
||||
=== Piemērs (mazais-O) <small-o-example-3>
|
||||
=== Piemērs (mazais-$o$) <small-o-example-3>
|
||||
$ n log^4 n =^? o(n^1.5) $
|
||||
|
||||
Ir zināms, ka mazajā $O$ notācijai, ja $lim_(x->oo)f(x)/g(x)$, kur $f(x)$ ir
|
||||
@ -648,7 +649,7 @@ Ievietojot vērtības $ lim_(n->oo) (n log^4 n)/n^1.5=0 $
|
||||
Tātad vienādojums ir
|
||||
patiess.
|
||||
|
||||
=== Piemērs (mazais-O)
|
||||
=== Piemērs (mazais-$o$)
|
||||
$ 2^n n^2 =^? o(n^3) $
|
||||
|
||||
Pēc tās pašas aprakstītās īpašības, kā @small-o-example-3, sanāktu
|
||||
@ -707,7 +708,7 @@ Lai atrastu koda izpildes laiku:
|
||||
no $n$ (skat. @time_analysis_expressions).
|
||||
+ Novērtē šīs funkcijas klasi izmantojot lielā-O notāciju.
|
||||
|
||||
===== Piemērs ($|a| = |b|"?"$)
|
||||
===== Piemērs ($|a| =^? |b|$)
|
||||
Vai ieejas virknē ir vienāds skaits $a$ un $b$?
|
||||
|
||||
+ Virzās no kreisās puses uz labo, aizstājot vienu $a$ un vienu $b$ ar $x$;
|
||||
@ -729,33 +730,30 @@ Kopējais soļu skaits:
|
||||
- $S(N) = max S(x_1, ..., x_N)$.
|
||||
|
||||
$
|
||||
"SPACE"(f(N)) = \
|
||||
= {L | L "var atrisināt ar Tjūringa" \
|
||||
"mašīnu, kurai" S(N) <= C f(N)}. \
|
||||
"SPACE"(f(N)) = \
|
||||
= {L | L "var atrisināt ar Tjūringa" \
|
||||
"mašīnu, kurai" S(N) <= C f(N)}. \
|
||||
$
|
||||
|
||||
==== NSPACE Definīcija
|
||||
|
||||
$
|
||||
"NSPACE"(f(N)) = \
|
||||
= {L | L "ir determinēta" M, "visiem" x, L(x)=M(x), \
|
||||
"un" M "izmanto " <= c f(N) "šūnas uz darba lentes"}. \
|
||||
"NSPACE"(f(N)) = \
|
||||
= {L | L "ir determinēta" M, "visiem" x, L(x)=M(x), \
|
||||
"un" M "izmanto " <= c f(N) "šūnas uz darba lentes"}. \
|
||||
$
|
||||
|
||||
#teo(
|
||||
title: "Savča teorēma",
|
||||
[$"NSPACE"(f(N)) subset.eq "SPACE" (f^2(N))$]
|
||||
)
|
||||
#teo(title: "Savča teorēma", [$"NSPACE"(f(N)) subset.eq "SPACE" (f^2(N))$])
|
||||
|
||||
==== LOGSPACE Definīcija
|
||||
|
||||
$
|
||||
"LOGSPACE" = "SPACE" (log N).
|
||||
"LOGSPACE" = "SPACE" (log N).
|
||||
$
|
||||
|
||||
$
|
||||
"LOGSPACE" subset.eq U_c "TIME"(c^(log N)) = \
|
||||
U_c "TIME" (N^c) = P
|
||||
"LOGSPACE" subset.eq U_c "TIME"(c^(log N)) = \
|
||||
U_c "TIME" (N^c) = P
|
||||
$
|
||||
|
||||
|
||||
@ -764,8 +762,8 @@ $
|
||||
#teo[
|
||||
Ja $f(n) >= log N$, tad
|
||||
$
|
||||
"TIME"(f(N)) subset.eq "SPACE"(f(N)) subset.eq \
|
||||
subset.eq U_c "TIME" (c^(f(N)))
|
||||
"TIME"(f(N)) subset.eq "SPACE"(f(N)) subset.eq \
|
||||
subset.eq U_c "TIME" (c^(f(N)))
|
||||
$
|
||||
]
|
||||
|
||||
@ -775,10 +773,10 @@ Laiks $O(f(N)) ->$ atmiņa $O(f(N))$.
|
||||
|
||||
Sekojošas funkcijas pieaugums pie $x -> infinity$:
|
||||
|
||||
$log(x) << x << x \cdot log(x) << x^k << a^x << x! << x^x$
|
||||
$log(x) << x << x dot log(x) << x^k << a^x << x! << x^x$
|
||||
|
||||
- $x$: mainīgais (parasti $n$).
|
||||
- $k$: jebkurš vesles pozitīvs skaitlis ($k in NN$).
|
||||
- $k$: jebkurš vesels pozitīvs skaitlis ($k in NN$).
|
||||
- $a$: reāla konstante lielāka par $1$ ($a > 1$).
|
||||
|
||||
Šo hierarhiju var izmantot intuīcijai par to vai funkcija pieder klasei
|
||||
@ -790,22 +788,20 @@ _Source; Mathematics for Computer Science, 2018, Eric Lehman, Google Inc._
|
||||
|
||||
= Klase P (TODO)
|
||||
|
||||
.
|
||||
|
||||
= Klase NP
|
||||
|
||||
== NP problēmas
|
||||
|
||||
NP (nederminēti-polinomiālas) problēmas
|
||||
#NP (nederminēti-polinomiālas) problēmas
|
||||
ir problēmas (2 ekvivalentas definīcijas):
|
||||
|
||||
+ $L in NP$, ja eksistē pārbaudes algoritms - $O(n^c)$ laika Tjūringa mašīna $M$:
|
||||
+ Ja $L(x) = 1$, tad eksistē y: $M(x, y) = 1$.
|
||||
+ Ja $L(x) = 0$, tad visiem y: $M(x, y) = 0$.
|
||||
+ NP = problēmas $L$, ko var atrisināt ar nedeterminētu mašīnu $O(n^c)$ laikā.
|
||||
+ #NP = problēmas $L$, ko var atrisināt ar nedeterminētu mašīnu $O(n^c)$ laikā.
|
||||
|
||||
Ekvivalence ir pierādīta ar abpusēju pārveidojumu no pārbaudītāja uz nedet. TM
|
||||
un atpakaļ.
|
||||
Ekvivalence ir pierādīta ar abpusēju pārveidojumu no pārbaudītāja uz nedet.
|
||||
#TM un atpakaļ.
|
||||
|
||||
== NP-pilnas probēmas un to redukcijas
|
||||
|
||||
@ -867,35 +863,36 @@ Piemērs AND vārtiem. Nosaucam ievades kā x, y un izvadi kā z: $z = x and y$
|
||||
|
||||
#table(
|
||||
columns: 4,
|
||||
[*$x$*],[*$y$*],[*$z$*],[*$z = x and z$?*],
|
||||
[$0$],[$0$],[$0$],[jā],
|
||||
[$0$],[$0$],[$1$],[nē],
|
||||
[$0$],[$1$],[$0$],[jā],
|
||||
[$0$],[$1$],[$1$],[nē],
|
||||
[$1$],[$0$],[$0$],[jā],
|
||||
[$1$],[$0$],[$1$],[nē],
|
||||
[$1$],[$1$],[$0$],[nē],
|
||||
[$1$],[$1$],[$1$],[jā],
|
||||
[*$x$*], [*$y$*], [*$z$*], [*$z = x and z$?*],
|
||||
$0$, $0$, $0$, [jā],
|
||||
$0$, $0$, $1$, [nē],
|
||||
$0$, $1$, $0$, [jā],
|
||||
$0$, $1$, $1$, [nē],
|
||||
$1$, $0$, $0$, [jā],
|
||||
$1$, $0$, $1$, [nē],
|
||||
$1$, $1$, $0$, [nē],
|
||||
$1$, $1$, $1$, [jā],
|
||||
)
|
||||
|
||||
Izveidojam pretrunas katrai rindai. Tas ir, konjunkciju katrai rindai ar "nē".
|
||||
|
||||
Piemēram, 2\. rindai (0, 0, 1): $x or y or not z$.
|
||||
Piemēram, 2. rindai $(0, 0, 1)$: $x or y or not z$.
|
||||
|
||||
Tad uzbūvējam konjunkciju vārtiem:
|
||||
|
||||
$
|
||||
(x or y or not z) and (x or not y or not z) and \
|
||||
and (not x or y or not z) and (not x or not y or z)
|
||||
(x or y or not z) and (x or not y or not z) and \
|
||||
and (not x or y or not z) and (not x or not y or z)
|
||||
$
|
||||
|
||||
Veido konjunkciju no visiem vārtiem shēmā. Tā kā 3-SAT sagaida 3 mainīgos katrā
|
||||
iekavā. Tiem, kas satur 1 vai 2 (identitātes vārti un not vārti attiecīgi),
|
||||
pārveido tos par 3-CNF konjunkciju pievienojot jaunu mainīgo, kas vienā
|
||||
formulā ir pozitīvs un otrā -- negācija.
|
||||
iekavā.
|
||||
Tiem, kas satur 1 vai 2 (identitātes vārti un not vārti attiecīgi), pārveido tos
|
||||
par 3-CNF konjunkciju pievienojot jaunu mainīgo, kas vienā formulā ir pozitīvs
|
||||
un otrā -- negācija.
|
||||
|
||||
$
|
||||
(x or not b) = (x or not b or a) and (x or not b or not a)
|
||||
(x or not b) = (x or not b or a) and (x or not b or not a)
|
||||
$
|
||||
|
||||
Analoģiski iekavām ar vienu elementu. Rezultātā ir 3-CNF formula, ko var
|
||||
@ -975,7 +972,8 @@ Ir spēkā sakarība $"INDSET"(G, k) = "CLIQUE"(G, k)$.
|
||||
|
||||
#table(
|
||||
columns: 3,
|
||||
inset: (top: .8em, bottom: .9em), // vert. padding
|
||||
inset: (top: .8em, bottom: .9em),
|
||||
// vert. padding
|
||||
[*Funkcija*], [*Atvasinājums*], [*Piezīmes*],
|
||||
|
||||
[$x^n$], [$n x^(n-1)$], [],
|
||||
@ -995,19 +993,14 @@ Ir spēkā sakarība $"INDSET"(G, k) = "CLIQUE"(G, k)$.
|
||||
== Noderīgas izteiksmes laika analīzē<time_analysis_expressions>
|
||||
|
||||
$
|
||||
sum_(i=1)^(n) i = (n(n+1))/(2) \
|
||||
|
||||
sum_(i=1)^(n) i^2 = (n(n+1)(2n+1))/(6)\
|
||||
|
||||
sum_(i=1)^(n) i^3 = ( (n(n+1))/(2))^2 \
|
||||
|
||||
// Geometric series (ratio r \neq 1)
|
||||
r > 1: sum_(i=0)^(n) a*r^i = a * (r^(n+1)-1)/(r-1) quad \
|
||||
r < 1: sum_(i=0)^(infinity) a*r^i = (a)/(1-r) \
|
||||
|
||||
// Logarithmic sum
|
||||
sum_(i=1)^(n) log i = log(n!) approx n log n - n + O(log n) \
|
||||
|
||||
// Exponential sum (appears in brute-force algorithms)
|
||||
sum_(i=0)^(n) 2^i = 2^(n+1) - 1 \
|
||||
sum_(i=1)^(n) i = (n(n+1))/(2) \
|
||||
sum_(i=1)^(n) i^2 = (n(n+1)(2n+1))/(6)\
|
||||
sum_(i=1)^(n) i^3 = ( (n(n+1))/(2))^2 \
|
||||
// Geometric series (ratio r \neq 1)
|
||||
r > 1: sum_(i=0)^(n) a*r^i = a * (r^(n+1)-1)/(r-1) quad \
|
||||
r < 1: sum_(i=0)^(infinity) a*r^i = (a)/(1-r) \
|
||||
// Logarithmic sum
|
||||
sum_(i=1)^(n) log i = log(n!) approx n log n - n + O(log n) \
|
||||
// Exponential sum (appears in brute-force algorithms)
|
||||
sum_(i=0)^(n) 2^i = 2^(n+1) - 1 \
|
||||
$
|
||||
|
||||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user